AI基础数学之——掌握中学基础数学：二、几何-相似三角形的性质与判定

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AI基础数学之——掌握中学基础数学：二、几何-相似三角形的性质与判定

✨前言✨

本系列文章目的在于将 中学数学 以计算机语言的方式来完整的讲解表述出来，使得在这个学习过程中可以让在中学就开始接触计算机编程的学生们可以快速的将计算机与所学的内容联合在一起，实践出真知，天赋不是先天自来，而是后天无数次的练习，无数次的使用，每天都在用，没时都在用，每刻都在用才会让这个技能真正的变成自己的能力，这就是本系列文章的目的。

前置 C++ 与 Python 的环境与基础内容

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C++ 环境理解与配置 (MinGW)	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429540
C++ 的 Visual Studio Code 运行环境配置	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429599
入门 C++ 语言：C++ 课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145429870
Python 环境配置与 Jupyter Notebook 开发工具下载使用	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145452751
入门 Python 语言：Python 基础课程目录	https://blog.youkuaiyun.com/Math_teacher_fan/article/details/145453148

中学数学——学习脑图

学习目标

1. 理解相似三角形的概念
2. 掌握相似三角形的性质和判定方法
3. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题
4. 提高逻辑思维能力和空间想象力

学习正文

解题思路与技巧

相似三角形的定义：
两个三角形如果对应角相等，对应边成比例，则称为相似三角形。记作△ABC ∽ △DEF，其中AB/DE = BC/EF = CA/FD。

相似三角形的性质：

1. 对应角相等。
2. 对应边成比例。
3. 周长比等于相似比。
4. 面积比等于相似比的平方。

相似三角形的判定方法：

1. AAA（角-角-角）判定法： 如果两个三角形的对应角相等，则它们一定相似。
2. SSS（边-边-边）判定法： 如果两个三角形的对应边成比例，则它们一定相似。
3. SAS（边-角-边）判定法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且夹角相等，则这两个三角形相似。

例题解析

例1：判断两个三角形是否相似

题目：
已知△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10；△DEF中，DE=3，EF=4，DF=5。判断这两个三角形是否相似，并说明理由。

解题思路：

1. 检查对应边的比例是否相等。

   • AB/DE = 6/3 = 2
   • BC/EF = 8/4 = 2
   • AC/DF = 10/5 = 2

2. 观察发现，三对对应边的比值都等于2。

3. 因此，△ABC ∽ △DEF，符合SSS判定法。

解题技巧：
当已知所有三条边的长度时，可以使用SSS判定法来判断三角形是否相似。检查各对应边的比例是否相等即可。

练习题

单选题-5个

1. 两个三角形如果对应角相等，则它们一定满足哪种相似判定方法？
   a. AAA
   b. SSS
   c. SAS
   d. 都不正确

2. 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形是否相似？
   a. 是
   b. 否
   c. 无法判断
   d. 以上都不对

3. 下列哪种情况不能用来判定两个三角形相似？
   a. AAA
   b. SSS
   c. SSA
   d. SAS

4. 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么这两个三角形是否一定相似？
   a. 是
   b. 否
   c. 无法判断
   d. 以上都不对

5. 下列哪种情况可以用来证明两个三角形相似？
   a. 两条边成比例且夹角相等
   b. 对应边完全相等但对应角不全等
   c. 所有角都相等但对应边不成比例
   d. 以上都不对

多选题-3个

1. 下列哪种情况可以作为相似三角形的判定依据？
   a. AAA
   b. SSA
   c. SAS
   d. SSS

2. 关于相似三角形，以下说法正确的是：
   a. 对应角相等
   b. 对应边成比例
   c. 周长比等于相似比
   d. 面积比等于相似比的平方

3. 下列哪种情况不能作为相似三角形的判定依据？
   a. AAA
   b. SSA
   c. SAS
   d. SSS

判断题-2个

1. 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，则这两个三角形一定相似。（√/×）

2. 如果两个三角形的对应边成比例且夹角相等，则它们一定相似。（√/×）

解答题-3个

1. 已知△ABC ∽ △DEF，AB=4，BC=6，AC=8；DE=2，求EF和DF的长度。

解：
因为△ABC ∽ △DEF，
所以 BC/EF = AB/DE
即 6/EF = 4/2 ⇒ EF = 3

同理，AC/DF = AB/DE ⇒ 8/DF = 4/2 ⇒ DF=4

答案：EF=3，DF=4。

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练习题代码题（C++与Python）

C++代码：

#include <iostream>
using namespace std;

void checkSimilarity(int a, int b, int c, int d, int e, int f) {
    if ((a * e == b * d) && (b * f == c * e) && (c * d == a * f)) {
        cout << "相似三角形" << endl;
    } else {
        cout << "不相似三角形" << endl;
    }
}

int main() {
    int AB = 6, BC = 8, AC = 10;
    int DE = 3, EF = 4, DF = 5;

    checkSimilarity(AB, BC, AC, DE, EF, DF);
    return 0;
}

Python代码：

def are_similar(a, b, c, d, e, f):
    if a * e == b * d and b * f == c * e and c * d == a * f:
        return True
    else:
        return False

# 示例调用
ab = 6; bc = 8; ac =10
de=3; ef=4; df=5

print(are_similar(ab, bc, ac, de, ef, df))

参考答案

C++代码输出：

相似三角形

Python代码输出：

True