递推公式的优化——矩阵乘方

想必大家对魔鬼序列：斐波那契数列都不陌生吧

F(n+2)=F(n+1)+F(n)

用编程实现的时候，有四种常见的方法：（当然一个比一个更为优化）

1.天真算法，求哪个就循环去求哪个呗，这样F(0),F(1)...前面的这些会重复好多遍计算，当然慢了。

2.由底至上的方法，用数组保存起来,按照顺序一个个往上计算，这样就可以避免重复了。

3.利用通式，跟由底至上的时间效率差不多。

4.矩阵乘方。

由通式可得，斐波那契数列是个二阶递推数列，

因此，存一个二维矩阵A,使得

（Fn+2，Fn+1）=（Fn+1,Fn)*A;

有规律可得，A=（1 1

      1 0）,呵呵这是个二维矩阵。

(Fn+2,Fn+1)=(Fn+1,Fn)*A=(Fn,Fn-1)*A^2...=（F1,F0）*A^(n+1)

即：（Fn+1 Fn   =（  1  1     ^n;这个写的有些抽象了

           Fn     Fn-1)      1  0)

在实际中，再采用快速幂的方法求，这样一来时间效率就优化为O(㏒n);

具体快速幂，请看下面的链接：

http://blog.youkuaiyun.com/masked__dance/article/details/40264411