矩阵乘方

最新推荐文章于 2024-12-07 17:52:17 发布

aurora＿

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分类专栏：算法

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问题描述：给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。

其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。

要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：

若b=0，则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。

若b为偶数，则A^b%m=(A(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。

若b为奇数，则A^b%m=(A(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。

这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。输入格式　　输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。输出格式　　输出两行，每行两个整数，表示A∧b%m
　　
样例输入
2 2
1 1
0 1
样例输出
1 0
0 1

问题解决思路：递归思想，1.若n为奇数，则递进到A∧b%m=(A∧(b-1)%m)*a%m，这个式子中去，那么b-1则为偶数，再递进到A∧b%m=(A∧(b/2)%m)^2%m，这个式子中去，然后就是一直递进到这个偶数式中去，直到n-1等于0为止，所以递归出口显然就是题目中给的当n=0的那个式子A∧b%m = l%m中去。2.若为偶数则少了奇数情况的第一步…

C源代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
void GoInto(int A[][2], int b, int m, int Copy[][2]); 
int main()
{
 int A[2][2] = {0};         //用来保存结果的矩阵,也是要求输入的矩阵；
 int Copy[2][2] = {0};      //用来保存一开始输入的矩阵，用于奇数递归那里的计算
 int b = 0;                 
 int m = 0;
 scanf("%d %d",&b,&m);
 int i = 0;
 int j = 0;
 
 for(i = 0; i<2; i++)
 {
  for(j = 0; j<2; j++)
  {
   scanf("%d",&A[i][j]);
   Copy[i][j] = A[i][j];
  }
 }
 
 GoInto(A, b, m, Copy);
 
 for(i = 0; i<2; i++)
 {
  for(j = 0; j<2; j++)
  {
   printf("%d ",A[i][j]);
  }
  printf("\n"); 
 } 
 return 0;
}

void GoInto(int A[][2], int b, int m, int Copy[][2])
{
 int i,j,k,sum;
 int C[2][2] = {0};
 i = j = k = sum = 0;
 if(b==0)
 {
  int I[2][2] = {1,0,0,1};     //单位矩阵;
  for (i = 0; i<2; i++)
  {
   for (j = 0; j<2; j++)
   {    
    A[i][j] = I[i][j]%m;      //b为0时的情况;
   }
  }
  return ;
 }
  
 if(b%2 == 1)     //奇数情况
 {
  GoInto(A, b-1, m, Copy);  //递归深入;
  for (i = 0; i<2; i++)     //三重循环计算这一层的结果矩阵;
  {
   for (j = 0; j<2; j++)
   {
    sum = 0;
    for (k = 0; k<2; k++)
    {
     sum += A[i][k]*Copy[k][j];
    }
    C[i][j] = sum%m;     //这里要将结果暂时保存起来，不能让结果矩阵A[i][j]直接等于sum%m，因为在循环里面会改变A[i][j]的值，而这个值会在循环内部继续用到。
   }
  }
  for (i = 0; i<2; i++)    //保存之后，在循环外面更新结果矩阵;
  {
   for (j = 0; j<2; j++)
   {
    A[i][j] = C[i][j];
   }
  }
  
 }
 
 if(b!=0 && b%2==0)          //为偶数的情况类似;
 {
  GoInto(A, b/2, m, Copy);
  for (i = 0; i<2; i++)
  {
   for (j = 0; j<2; j++)
   {
    sum = 0; 
    for (k = 0; k<2; k++)
    {
     sum += A[i][k]*A[k][j];
    }
    C[i][j] = sum%m;
   }
  }
  for (i = 0; i<2; i++)
  {
   for (j = 0; j<2; j++)
   {
    A[i][j] = C[i][j];
   }
  } 
 }
}