动态规划01背包问题

01背包问题

假设你是一名经验丰富的探险家，背着背包来到野外进行日常探险。天气晴朗而不燥热，山间的风夹杂着花香，正当你欣赏这世外桃源般的美景时，突然，你发现了一个洞穴，这个洞穴外表看起来其貌不扬，但凭借着惊为天人的直觉，这个洞穴不简单。于是，你开始往洞穴内探索，希望能发现一些有意思的东西。终于，皇天不负有心人，你在洞穴的尽头，发现了一堆珠宝，凭借你惊人的阅历，一眼便看出了它们各自的价值，心想着下下下下下下下下半辈子都有着落了。然而，天有不测风云，正准备将它们收入囊中，却不小心触碰到一个防御机关，洞穴马上就要崩塌了。在此危机时刻，你只有一个背包，你必须尽快做出抉择，从中选择最值钱的珠宝塞到你的背包，让背包中珠宝的总价值最大。好了好了，啰里啰嗦了大半天，我还是来精简一下问题吧。简而言之，你只有一个容量有限的背包，总容量为c，有n个可待选择的物品，每个物品只有一件，它们都有各自的重量和价值，你需要从中选择合适的组合来使得你背包中的物品总价值最大。问题分析：那还不简单，不管是什么，先往背包里塞，塞满赶紧走，狗命要紧，狗命要紧。。。好了好了，开个玩笑，言归正传。简单起见，我们来将上面的问题具体化，举一个更具体的栗子：假设有4个物品，它们的价值(v)和重量(w)如下图：

背包总容量为10，现在要从中选择物品装入背包中，要求物品的重量不能超过背包的容量，并且最后放在背包中物品的总价值最大。emmm，等等，为什么叫做0/1背包呢？为什么不叫1/2背包，2/3背包？？？仔细想想，这里每个物品只有一个，对于每个物品而言，只有两种选择，盘它或者不盘，盘它记为1，不盘记为0，我们不能将物品进行分割，比如只拿半个是不允许的。这就是这个问题被称为0/1背包问题的原因。所以究竟选还是不选，这是个问题。让我们先来体验一下将珠宝装入背包的感觉，为了方便起见，用xi代表第i个珠宝的选择（xi = 1 代表选择该珠宝，0则代表不选），vi代表第i个珠宝的价值，wi代表第i个珠宝的重量。于是我们就有了这样的限制条件：

我们的初始状态是背包容量为10，背包内物品总价值为0，接下来，我们就要开始做选择了。对于1号珠宝，当前容量为10，容纳它的重量2绰绰有余，因此有两种选择，选它或者不选。我们选择一个珠宝的时候，背包的容量会减少，但是里面的物品总价值会增加。就像下面这样：

这样就分出了两种情况，我们继续进行选择，如果我们选择了珠宝1，那么对于珠宝2，当前剩余容量为8，大于珠宝2的容量3，因此也有两种选择，选或者不选。

现在，我们得到了四个可能结果，我们每做出一个选择，就会将上面的每一种可能分裂成两种可能，后续的选择也是如此，最终，我们会得到如下的一张决策图：

这里被涂上色的方框代表我们的最终待选结果，本来应该有16个待选结果，但有三个结果由于容量不足以容纳下最后一个珠宝，所以就没有继续进行裂变。然后，我们从这些结果中，找出价值最大的那个，也就是13，这就是我们的最优选择，根据这个选择，依次找到它的所有路径，便可以知道该选哪几个珠宝，最终结果是：珠宝4，珠宝2，珠宝1。简单的看，对于每个物品，无外乎两种可能：选，或者不选。不选的话，背包的容量不变，最大价值还是之前的价值；选的话，背包的容量变小，价值变大。最优方案就是比较这两种方案，哪个会更好些：
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01背包问题

[算法分析]

定义状态∶dp[i][j]:有i件物品，背包容量为j的情况下存储的最大价值w[i]第i件物品的重量，c背包总容量，j表示背包实时容量，也就是0到c之间的容量，v[i]第i件物品的价值如果w[i]>j：放不下，最大价值为i-1件物品讨论时的最大价值，即dp[i-1][j]；如果w[i]<=j:放得下：
选上： 剩余容量：j-w[i],最大价值：v[i] + (i-1件物品，容量在j- w[i]的情况下最大价值),即v[i]+dp[i-1][j-w[i]]；不选： 最大价值：i-1件物品讨论时的最大价值，即dp[i-1][j]；所以动态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],v[i]+