算法学习——二分查找

     如何在一个严格递增序列A中找出给定的数x。最直接的办法是：线性扫描序列中的所有元素，如果当前元素恰好为x，则表明查找成功；如果扫描完整个序列都没有发现给定的数x，则表明查找失败，说明序列中不存在数x。这种顺序查找的时间复杂度为O(n)(其中n为序列元素个数)，如果需要查询次数不多，则是很好的选择，但是如果有10的5次方个数需要查询，就不太能承受了。
     更好的办法是使用二分查找。二分查找是基于有序序列的查找算法，该算法一开始使[left, right]为整个序列的下标区间，然后每次测试当前[left, right]的中间位置mid = (left+right) / 2，判断A[mid]与欲查询的元素x的大小：
（1）如果A[mid] == x，说明查找成功，退出查询。
（2）如果A[mid] > x, 说明元素x在mid位置左边，因此往左子区间[left, mid - 1]继续查询。
（3）如果A[mid] < x,说明元素x在mid位置右边，因此往右子区间[mid+1, right]继续查找。
其时间复杂度是O(logn)，这是它最大的优点。其解题模版如下：

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int> nums, int target) {
        int left = 0, right = nums.length - 1;
        while(left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] == target) {
                return mid;
            } else if(nums[mid] < target) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

二分查找的思路不难理解，但是边界条件容易出错，主要包括两个方面：
（1）循环结束条件中 left 和 right 的关系
（2）更新 left 和 right 位置时，mid 要不要加 1 减 1

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问题 A: 找x
时间限制: 1 Sec  内存限制: 32 MB

题目描述
输入一个数n，然后输入n个数值各不相同，再输入一个值x，输出这个值在这个数组中的下标（从0开始，若不在数组中则输出-1）。

输入
测试数据有多组，输入n(1<=n<=200)，接着输入n个数，然后输入x。

输出
对于每组输入,请输出结果。

样例输入
4
1 2 3 4
3
样例输出
2

解题思路
这道题的思路即为上文所示的基本概念。需要注意的是，如果二分上界超过int型数据范围的一半，那么当欲查询元素在序列较靠后的位置时，语句mid = (left + right) / 2中的left + right就有可能超过int而导致溢出，此时一般使用mid = left + (right - left) / 2这条等价语句作为代替以避免溢出。
需要注意的是二分查找的过程与序列的下标从0开始还是从1开始无关。

Submission

#include <stdio.h>
int binarySearch(int a[], int left, int right, int x) {
	int mid;
	while(left <= right) {
		mid = (left + right) / 2;
		if(a[mid] == x) return mid;
		else if(a[mid] > x) {
			right = mid - 1;
		}
		else {
			left = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
} 
int main() {
	int n, x;
	int a[201] = {0};
	while(scanf("%d", &n) != EOF) {
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			scanf("%d", &a[i]);
		}
		scanf("%d", &x);
		printf("%d\n", binarySearch(a, 0, n-1, x));	
	} 
    return 0;
}

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问题 B: 打印极值点下标
时间限制: 1 Sec  内存限制: 32 MB

题目描述
在一个整数数组上，对于下标为i的整数，如果它大于所有它相邻的整数，或者小于所有它相邻的整数，则称为该整数为一个极值点，极值点的下标就是i。

输入
每个案例的输入如下：

有2×n+1行输入：第一行是要处理的数组的个数n；
对其余2×n行，第一行是此数组的元素个数k(4< k <80)，第二行是k个整数，每两个整数之间用空格分隔。

输出
每个案例输出不多于n行：每行对应于相应数组的所有极值点下标值，下标值之间用空格分隔，如果没有极值点则不输出任何东西。

样例输入
2
4
1 2 1 3
5
3 4 5 6 7
样例输出
0 1 2 3
0 4

解题思路
一直格式错误，原因是如果没有极小值不要输出任何数值。

Submission

#include <stdio.h>
int main() {
    int n, m;
    int buf[80];
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int left = -1, cur = 0, right = 1;
            scanf("%d", &m);
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                scanf("%d", &buf[j]);
            }
            while (cur < m) {
                if (cur == 0 && buf[cur] != buf[right]) {
                	if(m != 1) {
                		printf("%d ", cur);
					}
                } 
				else if (cur == m - 1 && buf[cur] != buf[left]) {
					if(m != 1) {
                		printf("%d \n", cur);
					}
                }
				else if((buf[cur] > buf[left] && buf[cur] > buf[right])
                           ||(buf[cur] < buf[left] && buf[cur] < buf[right])) {
                        printf("%d ", cur);
                }
                left++;
                cur++;
                right++;
            }
        }

    }
    return 0;
}

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问题 C: 查找
时间限制: 1 Sec  内存限制: 32 MB

题目描述
输入数组长度 n 
输入数组      a[1...n] 
输入查找个数m 
输入查找数字b[1...m] 
输出 YES or NO  查找有则YES 否则NO 。

输入
输入有多组数据。
每组输入n，然后输入n个整数，再输入m，然后再输入m个整数（1<=m<=n<=100）。

输出
如果在n个数组中输出YES否则输出NO。

样例输入
6
3 2 5 4 7 8
2
3 6
样例输出
YES
NO

解题思路
注意在查找前要对序列进行排序，具体是递增还是递减序列由你二分查找函数的判断语句而定。

Submission

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int binarySearch(int a[], int left, int right, int x) {
	int mid;
	while(left <= right) {
		mid = (left + right) / 2;
		if(a[mid] == x) return 1;
		else if(a[mid] > x) {
			right = mid - 1;
		}
		else {
			left = mid + 1;
		}
	}
	return 0;
} 
int main() {
	int n, m;
	int a[101] = {0};
	int b[101] = {0}; 
	while(scanf("%d", &n) != EOF) {
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			scanf("%d", &a[i]);
		}
		sort(a, a + n);
		scanf("%d", &m);
		for(int i = 0; i < m; i++){
			scanf("%d", &b[i]);
		}
		for(int i = 0; i < m; i++){
			int flag = binarySearch(a, 0, n-1, b[i]);
			if(flag == 1)  printf("YES\n");
			else printf("NO\n");
		}
	
	} 
    return 0;
}

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回寝室…