【LeetCode】300. Longest Increasing Subsequence

最新推荐文章于 2025-02-03 17:41:00 发布

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本文探讨了如何找出给定整数数组中最长递增子序列的长度，并提供了两种算法实现方式：一种时间复杂度为O(n^2)，另一种通过采用二分查找优化至O(n log n)。

关键词：

最长递增子序列

问题描述：

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

For example,
Given [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18],
The longest increasing subsequence is [2, 3, 7, 101], therefore the length is 4. Note that there may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.

这是一个很好玩的题目，从给定数组中得到一个最长的子序列，要求这个序列中的元素出现顺序不变，并且后面的元素要大于前面的元素。这是最长递增子序列问题。

问题分析：

可以使用一个数组rec, rec[L]表示构成长度为L的递增子序列最后一个元素的值

扫描传入的nums数组，设k = nums[i]

当k > rec[L]时，说明长度为L，最后一个元素为rec[L]的递增子序列后面，还可以加上一个元素k，得到一个长度为L+1，最后一个元素为k的递增子序列。

若之前没有生成长度为L+1的递增子序列，则rec[L+1] = k

若之前生成过长度为L+1的递增子序列，则比较k于rec[L+1]的大小；若k < rec[L+1], 令rec[L+1] = k;否则不进行任何操作。

参考代码：

<strong>class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.empty())return 0;
        vector<int> rec;
        rec.push_back(1 << 31);
        rec.push_back(nums[0]);
        for (int i = 1;i < nums.size();++i){
            int k = nums[i];
            for (int j = 1;j < rec.size();++j){
                if (rec[j-1] < k){
                    if (k < rec[j]){
						rec[j] = k;
					}
                }else{
                    break;
                }
            }
            if (k > rec[rec.size()-1]){
                rec.push_back(k);
            }
        }
        return rec.size() - 1;
    }
};</strong>

优化：

以上的代码每次将rec数组从0到end-1判断一遍，求解lengthOfLIS的时间复杂度为O(n^2)。

是否能进一步优化呢？

由插入的规则可知，rec中的元素是递增的。

可以对rec数组进行二分查找，得到j的值, 每次二分查找的时间复杂度为O(log(n))。

求解lengthOfLIS的时间复杂度为O(nlog(n)).

需要注意，二分查找得到检查的位置后，需要判断k是否大于该位置的前一个元素，避免出现rec[L] = rec[L+1]的情况。

优化后的代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> rec;
        rec.push_back(1 << 31);
        for (int i = 0;i < nums.size();++i){
            int k = nums[i];
            auto p = upper_bound(rec.begin(),rec.end(),k);
            auto f = p - 1;
			if (*f < k){
				if (p == rec.end())rec.push_back(k);
				else *p = k;
			}
        }
        return rec.size() - 1;
    }
};