卡特兰数问题

卡特兰数

• 卡特兰数
  卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列，最早由清代数学家明安图发现，也叫“明安图数”
  1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012 ...
  一般通项公式为
  $$C_n = \frac{1}{n+1} \begin{pmatrix} 2n \\ n \\ \end{pmatrix} =\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$$
  令 $h(0)=1, h(1)=1$ ， catalan数满足递推式
  $$h(n)= h(0) \cdot h(n-1)+h(1) \cdot h(n-2) + ... + h(n-1) \cdot h(0) \quad (n>=2)$$

• 常见应用

  1. 括号化
     矩阵连乘：$P=a_1×a_2×a_3×……×a_n$，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
  2. 出栈次序
     一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
  3. 凸多边形三角划分
     
     在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数？
  4. 给定节点组成二叉搜索树
     给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？
  5. $n$ 对括号正确匹配数目
     给定 $n$ 对括号，求括号正确配对的字符串数，例如：
     0对括号：[空序列] 1种可能
     1对括号： $( )$ $\quad$ 1种可能
     2对括号：$() () \quad (())$ 2种可能
     3对括号：$((())) \quad ()(()) \quad ()()() \quad (())() \quad (()())$ 5种可能
     那么问题来了，n对括号有多少种正确配对的可能呢？
     考虑 $n$ 对括号时的任意一种配对方案，最后一个右括号有唯一的与之匹配的左括号，
     于是有唯一的表示A(B)，其中A和B也是合法的括号匹配序列。
     假设 $S(n)$ 为 $n$ 对括号的正确配对数目，
     那么有递推关系 $S(n)=S(0)S(n-1)+S(1)S(n-2) +...+S(n-1)S(0)$，显然 $S(n)$ 是卡特兰数。

• 计算卡特兰数 一般算法：

public class Catalan {
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(generateCatalan(3));
    }

    public static long generateCatalan(int n) {
        //产生卡特兰数
        long[] catalan = new long[n + 1];
        catalan[0] = 1L;
        catalan[1] = 1L;
        for(int i = 2;i <= n; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                catalan[i] += catalan[j] * catalan[i-j-1];
            }
        }
        return catalan[n];
    }
}