bzoj 3505 (排列组合)

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排列组合

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本文介绍了解决Cqoi2014竞赛中“数三角形”问题的方法，通过计算网格上所有可能的三角形数量，并排除共线点构成的假三角形来得出正确答案。

3505: [Cqoi2014]数三角形

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 952 Solved: 585
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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000

解题思路：

被坑死。。。

首先，可以反过来想（排列组合重要的方法）先求出全部，再减去不符合的。

c[n*m][3]就是全部情况。然后减去共线的。竖的和横的比较简单，剩下还有斜的。

首先可以以（0,0)这个点为1端，然后枚举（n*m)个点，这样可以把所有种线段枚举出来，然后可以就一共有（m-i)*(n-j)条同样的线段。然后对于每个线段可以用gcd求出整点数。因为之前已经处理了比当前整点数-1的线段，所以对于现在这条线段只需加上一个多出来的点的种数。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int len;
long long c[1000100][4];
long long ans;

inline int read()
{
char y; int x=0,f=1; y=getchar();
while (y<'0' || y>'9') {if (y=='-')f=-1; y=getchar();}
while (y>='0' && y<='9') {x=x*10+int(y)-48;y=getchar();}
return x*f;
}

void solve()
{
c[0][0]=1;
for (int i=1;i<=n*m;++i)
{
c[i][0]=1;
for (int j=1;j<=3;++j)
{
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
}
}
}

int gcd(int x,int y)
{
if (y==0) return x;else return gcd(y,x%y);
}

void getc()
{
for (int i=2;i<=n;++i)
for (int j=2;j<=m;++j)
{
int tmp=gcd(i-1,j-1)+1;
if (tmp>2)
{
ans-=(tmp-2)*(m-j+1)*(n-i+1)*2;
}
}
}

int main()
{
n=read()+1; m=read()+1;
solve();
ans=c[n*m][3];
ans-=c[m][3]*n;
ans-=c[n][3]*m;
getc();
printf("%lld",ans);
}