【GDOI2014模拟】服务器题解

Description

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。
首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

Solution

首先，我相信各位巨佬都可以一眼秒出时间复杂度$O(n^2)$的dp。
不过我这个蒟蒻还是要多嘴一下，dp转移式就是：
$f[i]=min(f[i],f[j]+\frac{(j-i)\ast (j-i-1)}{2}+c[i])$
是不是很简单呢？
只可惜，这么美妙的一个方法，是会TLE的。
所以我们考虑优化。
要是有些斜率优化底子的人应该会想到斜率优化。
首先，如果从$j$这个位置转移到$i$这个位置要比从$k$这个位置转移要优，那么一定会满足下面的这个式子：
$f[j]+\frac{(j-i)\ast (j-i-1)}{2}+c[i]<f[k]+\frac{(k-i)\ast (k-i-1)}{2}+c[i]$
化简一下$\frac{(j-i)\ast (j-i-1)}{2}$和$\frac{(k-i)\ast (k-i-1)}{2}$可得：
$f[j]+\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}-ij+\frac{i^2}{2}-\frac{i}{2}<f[k]+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{2}-ik+\frac{i^2}{2}-\frac{i}{2}$
把两边只跟$i$有关的全不消掉，得：
$f[j]+\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}-ij<f[k]+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{2}-ik$
把跟$i$有关的移到一边，把只跟$j$有关或只跟k有关的移到一边，得：
$f[j]+\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}-f[k]-\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}<ij-ik$
把右边的$i$提出来，得：
$f[j]+\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}-f[k]-\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}<(j-k)i$
把$(j-k)$除过去另一边，得：
$\frac{f[j]+\frac{j^2}{2}+\frac{j}{2}-f[k]-\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}}{(j-k)}<i$
这样,是不是就很眼熟了呢？这就是我们所熟悉的斜率，然后搞个单调队列，下凸壳，便可以直接维护了。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ldb long double
using namespace std;
const int N=1e6+5;
ll n,head,tail;
ll a[N],f[N],ans,q[N];
ldb slope(ll x,ll y) {return (f[x]-f[y]+(x*x-y*y-x+y)*1.0/2)*1.0/(x-y)*1.0;}//斜率 
int main() {
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	q[0]=n;f[n]=a[n];
	ans=a[n]+(n*(n-1)/2);
	for(ll i=n-1;i;i--) {
		while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])>=i)head++;//如果大于等于i就是q[head]没有q[head+1]优 
		ll j=q[head];
		f[i]=f[j]+(j-i)*(j-i-1)/2+a[i];
		ans=min(ans,f[i]+(i*(i-1)/2));
		while(head<tail&&slope(q[tail],i)>=slope(q[tail-1],q[tail]))tail--;//下凸壳 
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}