费马因子分解法——C语言实现

费马因子分解原理详解

费马因子分解法（Fermat's factorization method）是一种用于分解大整数的算法，由法国数学家皮埃尔·德·费马提出。它特别适用于当整数的两个因子大小相近时，能高效地找到因子。下面我将逐步解释其原理、步骤、示例及优缺点，确保内容清晰易懂。

1. 数学基础

该方法基于平方差公式：任何整数 $n$ 如果能表示为两个平方数的差，则可以分解为两个因子的乘积。具体来说： $$n = a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ 其中 $a$ 和 $b$ 是整数，且 $a > b$。分解的目标是找到整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2 - n$ 是一个完全平方数（即 $b^2$）。

2. 算法原理

• 核心思想：从 $n$ 的平方根附近开始搜索，逐步增加 $a$，并检查 $a^2 - n$ 是否为完全平方数。
• 为什么高效：当 $n$ 的两个因子接近时（即 $a - b$ 和 $a + b$ 相差不大），$a$ 的值会接近 $\sqrt{n}$，减少搜索次数。
• 数学保证：如果 $n$ 是奇合数（至少有一个奇因子），则总存在整数 $a$ 和 $b$ 满足上述公式。

3. 算法步骤

以下是费马因子分解法的标准步骤，以伪代码形式呈现（便于理解）：

步骤详解：

1. 初始化：计算 $a = \lceil \sqrt{n} \rceil$（向上取整），因为 $a$ 至少需要这么大。
2. 迭代检查：
   • 计算 $b_{\text{sq}} = a^2 - n$。
   • 检查 $b_{\text{sq}}$ 是否为完全平方数：即存在整数 $b$ 使得 $b^2 = b_{