饮料供货

一、问题：

 水房中有很多饮料，上班的人每天都去拿一些饮料，管理水房的阿姨们每天都会准备很多的饮料给大家，为了提高服务质量，他们会统计大家对每种饮料的满意程度。

从阿姨的统计数据中，我们知道了大家对每一种饮料的满意度。供应饮料还有如下限制：

首先供应的饮料，总容量为V。

其次每一种饮料的单个容量都是2的方幂，什么意思呢，比如说王老吉每瓶都是2的3次幂=8L的，可口可乐都是2的四次幂=16L的，等等。

最后一个限制就是每一种饮料的容量都是有上限的。

统计数据中用饮料的名字、容量、数量、满意度描述每一种饮料。

问题是让我们根据这个数据，去求得保证最大满意度的购买量呢？

二、分析：

我们先把这个问题数学化，假设供应的饮料的种类是n，用（Si，Vi，Ci，Hi，Bi）（对应饮料名字，单瓶容量，可能的最大数量（上限），满意度，实际购买量）来表示第i种饮料（i = 0,1,2,3,4.......）。那么我们根据上面的分析，得出，饮料总量为：

那么总体满意度是（满意度是针对每瓶的，那么总体满意度就是所有瓶的满意度的和）：

。

接下来，再看看我们题目的要求怎样用数学公式表示出来，在满足条件

的基础之上，

求得。

解法一

书上再次采用了动态规划的方法进行求解，用Opt（V',i）表示从底i，i+1，i+2.........n-1 种饮料中，算出总容量为V’的方案中满意度之和的最大值。

因此，Opt（V，0）其实就是我们就要求的值，它代表的就是从0,1,2,3........n-1，总容量为V的方案之中满意度之和最大的值。

那么我们其实可以列出如下的推导公式：

这个公式的意思就是说：最优化的结果是=“选择k个第i种饮料的满意度+剩下部分不考虑第i种饮料的最优化结果”的最大值。

这种思想很好理解，接下来我们先附上代码，然后进行解释

int[V + 1][T + 1] opt;
int  Cal(int V, int type)
{
	if (type == T)
	{
		if (V == 0)
			return 0;
		else
			return -INF;
	}
	if (V < 0)
		return -INF;
	else if (V == 0)
		return 0;
	else if (opt[V][type] != -1)
		return opt[V][type];

	int ret = -INF;
	for (int i = 0; i <= C[type]; i++)
	{
		int temp = Cal(V - i*V[i], type + 1);
		if (temp != -INF)
		{
			temp += H[type] * i;
			if (temp > ret)
				ret = temp;
		}
	}
	return opt[V][type]=ret;
}

我们来看一下代码中是怎么实现的，首先要明白我们最终要求的结果是什么？我们要求的最终的结果是Cal（V，0），也就是说我们直接调用代码中Cal函数，传进去参数为v,o

然后我们接着看函数内部，前几行，代码中首先对type的值进行判断，看其是否等于T，然后又对V的大小进行判断，看其是否小于0，为什么要这样判断呢？原因等会再说，我们接着往下看，首先我们 令 ret = -INF是把其设置为无穷大，接着我们开始这个函数的重头戏了，也就是这个for循环，首先我们看它的i指的是什么意思呢？其实i代表的就是饮料的数量，也就是瓶数，i的限定大小就是其上限了，这个都不难理解，然后我们接着看for循环内部循环体，第一步，它先再次调用了自己函数本身，我们知道调用函数本身其实就是递归，没错，这就是递归，关键是你要明白为什么要这样递归，假设我们此时才是第一轮，那么我们此时的type是等于0的，i也是等于0的，那么在第一轮中代表我们把第0种饮料的数量设置为0的情况下，我们再去调用Cal函数，根据在写代码之前我们说的这个动态规划的思想，我们就必须把Cal函数的参数给更改一下，V就要变成总容量减去第0种饮料的容量，此时是0，type参数呢？此时我们已经把第0种饮料给固定了，接下来我们就是要从第1种饮料开始了呗，所以就把type+1.

接着我们继续，既然它又再次调用了自己，那么我们继续开Cal函数，从头看，此时我们再去看它判断的type ==T ，哎？随着它一次次的调用自己，你发现没，type总有达到T的时刻，千万注意：此时到达type=T不是说这一轮是对最后一种饮料进行分配，而是超出了最后一种，因为type 是从0开始的，这其实就是递归到了最深层，接下来该干什么了？返回呗！看此时的返回值如果V==0然后返回0，这个代表什么意思呢？就是说我们正好在分配第 T-1种饮料的时候，把V用完了，这代表什么，找到解了呗。

然后我们接着看这个对V的判断，说if （V<0）就直接返回-INF，什么意思呢？想一想，在我们不断的对每种饮料分配的过程中，我们发现V用超了，那代表什么意思？当然是没解呗！当然要返回-INF了，如果等于0呢？那么就是说当我们分配上一层的那种饮料的时候把V恰巧用完，这一层的饮料的满意度当然为0了，直接返回就行了。你再看还有一个else if，就是说V还没有用完，那就继续呗，把其值赋为-1，代表这种V这种type的饮料的情况还没有确定下来是否有解。

好了，接下来，我们再去看看for循环中的循环体，我们刚才说了调用自己的那个地方，我们接着往下看，注意：什么时候程序才会接着往下走呢？当然是递归有返回值了呗，就是下一层计算出来了我们要的temp，我们把这个temp和-INF去比较，如果是负无穷，就代表当前的情况是没解的，直接丢掉就行，如果不等于负无穷呢？代表有解，然后我们再根据当前层对type种饮料的分的数量，计算出这一层第type种的饮料贡献的满意度计算出来，然后和原来的temp去比较，其实就是和当前type种的饮料分配不同的数量的方案比较，保留最大的那个。

好了，其实我很罗嗦，但是我想说的是有些时候阅读代码还是很好的，能帮助你更加深刻的理解算法的精髓。

解法二、

书上还有一种解法，这个很巧妙。

它把不同种类的饮料的单个瓶的容量从小到大进行了排列，注意题目中给出每一种饮料的单个容量都是2的次幂。

那么，如果我们把总容量V去对2取余，如果得到的结果是1，那代表什么，就是说V是奇数，那么就是说2的次幂的饮料至少要有一瓶的，然后呢?我们就去查找单瓶容量为1L的饮料满意度为最高的。书上又说，如我们要买容量为2L的怎么办呢？我们找到2L中满意度最高的，然后再去找2个1L的满意度和最高的，然后二者进行比较，哪个高就用那个方案。

接下来就是我的思考了：

首先我先计算好，2L的能不能用1L的替代，4L的能不能用2L（注意此时结算2L的满意度的时候要考虑到其是否可以用1L的替代）的替代，8升的能不能用4L的替代。。。。。。

然后，我把V先去除以2，然后如果得出1，就代表1L的我一定要买一瓶了，然后我把V-1再去除以4，为什么呢？如果V-1除以4余数为2（只能为2或者0，因为都是2的次幂），就代表余下的升数中，我一定要买一瓶2L的，那么接下来再去看这个2L的能不能用1L的去替代呢？（我就去查找我最初计算的那个表），然后我继续，我用v -1-2,去除以8.。。。。。一直到最后余下的容量一定是2的次幂，然后就再去把这个容量根据刚才计算的数组去找到最优的值。

这个算法，我不知道是否为最优值，但是其是一个很典型的贪心算法，有人感兴趣的话可以验证一下，如果不是最优的，请告知。