买书问题

一、问题：

买书问题：

      上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

        本数    2       折扣   5%

        本数    3       折扣  10%

        本数    4       折扣  20%

        本数    5       折扣  25% 

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

二、分析

注意此题的关键点在两个地方：首先题目要求我们的折扣需要不同的书，比如两本卷一是不能使用折扣的；其次我们注意当买的书较多的时候会出现不同的组合情况，我们的目的就是求出哪一种组合情况最省钱。

三、解法一贪心算法

贪心算法指的就是我们每次先去看能不能使用五本折扣的，如果不能再去寻找四本折扣的，一次类推。

但是书中给出的情况也说明了，这样的话，当书的情况是（2，2，2，1，1）的时候采用贪心算法的话采用的是5,3进行折扣，但是这种折扣不如4,4的折扣。

虽然书中最后还给出了其改进的算法，但是到最后还是没有进行证明改进后的算法一定是最优的。

所以本文对贪心算法也不再进行赘述。

四、动态规划

1.问题中等价性

我们假设用Xn表示购买第n卷的的数量，那么我们用（X1，X2，X3，X4，X5）表示购买五种书的数量。我们用F（X1，X2，X3，X4，X5）表示购买这些书需要花费的最少费用。那么我们不难看出：F（X1，X2，X3，X4，X5）=F（X2，X1，X3，X4，X5），原因是各卷书的价格都是一样的，打折的要求和每一本书的种类是没关系的，只需要不同卷就行。

那么我们下面来把购书的这个向量进行更改一下，我们首先把X1，X2，X3，X4，X5从大到小进行排序，我们把排序的结果用Y1>=Y2>=Y3>=Y4>=Y5来进行表示。

那么由于上面的等价性我们知道F（X1，X2，X3，X4，X5）= F（Y1，Y2，Y3，Y4，Y5）的，我们为什么要进行这样的转换呢？接着往下看。

     2.动态规划

假设我们要买的书是（Y1，Y2，Y3，Y4，Y5），如果第一次我们考虑的是为五本不同的书进行付款（要求Y5>=1），也就是五种书分别减一就行了，我们好像并没有别的选择了。

那么假设我们第一次考虑的是为四本不同的书进行付款呢？那么我们就有可能有如下的购买集合：

（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4-1，Y5）此时我们要求Y4>=1，注意书上没有写要求，但是我认为下面的四个组合要求Y5>=1

（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4，Y5-1）

（Y1-1，Y2-1，Y3，Y4-1，Y5-1）

（Y1-1，Y2，Y3-1，Y4-1，Y5-1）

（Y1，Y2-1，Y3-1，Y4-1，Y5-1）

既然有这五种的购买集合，那么我们用哪一种的购买方式比较好呢？

直觉上，好像第一种购买方式可能比较好，原因是什么呢？第一种购买方式之后，好像留下最多的后续组合，我们举个例子，假设我们的购买书的向量是

（2，2，2，2，1），那么如果采用上面的第一种购买组个我们剩余的是（1,1,1,1,1）这样接下来可以直接选择五本的折扣，如果我们选择第二种的购买方式，余下的组合是：

（1，1，1，2，0），这样接下来我们的购买方式智能分解为（1,1,1,1,0）和（0,0,0,1,0），直觉告诉我们如果我们要准备选择4本的折扣的时候，尽量紧着数目多种类的书选，这样对不对呢？是不是要选择三本书，两本书进行折扣的时候都是按照这样的原则就能找到最优解呢？接下来我们证明。

书上给出的证明方式真的很巧妙，不得不服啊。

假设：如果在（Y1，Y2，Y3，Y4，Y5）的情况下选择扣除（1,1,1,0,1）能够得到最优解，此时剩下的组合是（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4，Y5-1）。

    注意：这只是假设，不要迷糊了。

那么在这个假设的基础上，我们如果能够证明，采用扣除（1,1,1,1,0）也同样能够得到最优解，那么我们就可以说每次按照（1,1,1,1,0）就行了。

注意这句话的理解：为什么？举个例子吧，如果商家A和商家B同时卖一种商品，商家B说了，我卖的价格一定不会比A高，意思也就是说A卖多少，我至少会和他相等，或者小于他。同样的道理用到我们的题目中，采用方案二扣除的方式如果能够找到最优解的话，我们的方案一也一定能够找到最优解，结果是什么，我的方案一一定不会比方案二差。假设这个定理我们已经证明过了（注意是假设，我们会在后续把它证明了），你用同样的道理去比较方案三和方案二，你说加入方案三能够找到最优解，那么我的方案二也一定能够找到最优解，一次类推，最后你会发现其实方案一是最好的。

下面我们来证明：

从选择扣除四本书的组合来看，目前选择扣除方式是（1,1,1,0,1），由于Y4>=Y5那么显然在剩余的情况（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4，Y5-1）中，Y4>Y5-1,则在

（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4，Y5-1）的最优解中一定存在某些组合仅有Y4，没有Y5.

举个例子：注意书中给出了这样的例子Y1=Y2=Y3=Y4=Y5，我认为举这样的例子不太恰当，我后面再给出解释，我们先看书上的证明

假设Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=2，选择（1,1,1,1,0）的话我们就会得到（1,1,1,1,2），那么剩下的书的序号就是{1,2,3,4,5,5}.

选择（1,1,1,0,1）的话我们就会得到（1,1,1,2,1），那么剩下的书的序号就是{1,2,3,4,4,5}，由于Y4>Y5-1,则在（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4，Y5-1）的最优解中一定存在某些组合仅有Y4，没有Y5，我们来看（Y1-1，Y2-1，Y3-1，Y4，Y5-1）的可能折扣方案：

{1,2,3,4,5} {4}

{1,2,3,4}   {4,5}

{1,2,4}        {3,4,5}

........

不管在哪个方案中都会出现一定有4而没有5的情况

{1,2,3,4,5} {4} 中的{4}

{1,2,3,4}   {4,5}中的{1,2,3,4}

{1,2,4}       {3,4,5}中的{1,2,4}

其实你仔细看会发现，如果我们把由第4本书而没有第5本书的组合里面的4换成5之后，是什么呢？就是我们如果最初采用（1,1,1,1,0）之后的可能的折扣方案。

{1,2,3,4,5} {4}——>{1,2,3,4,5} {5}

{1,2,3,4,}   {4,5}——>{1,2,3,5}   {4,5}

{1,2,4}        {3,4,5}——>{1,2,5}        {3,4,5}

这说明什么？这说明我们的方案二的最优解都能转化为方案一的最优解，这样的话，我们上面已经讨论过，这样我们就可以只是使用方案一来进行扣除了，因为他是最好的。

那么接下来我来说说为什么书上举这个例子是不太好的，Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=2，他举的这个例子让人容易产生错觉，太巧了，为什么Y4要等于Y5呢，大于的时候会出现什么？大于的时候这个定理还成立吗？接下来我们进行讨论

当（Y1，Y2，Y3，Y4，Y5）为（2,2,2,2,1）的时候。

如果我们采用方案二扣除，得出的是（1,1,1,2,0）,它剩余了{1,2,3,4,4}那么它之后的可能的方案是：

{1,2,3,4}  {4}

{1,2,4}  {3,4}

{1,3,4}  {2,4}

.......

那么我们如果采用第一种扣除方案的时候呢？得出的是（1,1,1,1,1），它剩余了{1,2,3,4,5}，它之后的可能的方案是什么呢？

{1,2,3,4}  {5}

{1,2,4}  {3,5}

{1,3,4}  {2,5}

........

发现没有，你和上面进行对比，同样是可以转化的。

所以说无论是Y4=Y5，还是Y4>Y5，都是满足的。

这样我们就可以证明了方案一是最好的。

也就是说我们在进行扣除的时候，无论我们准备要扣除四个，三个，还是两个，紧着数目多的书进行扣除就一定能找到最优解。

下面给出书中的伪代码：

F(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5)
　　= 0 if (Y1=Y2=Y3=Y4=Y5=0)
　　= min

       {
　　5*8*（1-0.25）+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5-1), if (Y5>=1)
　　4*8*（1-0.20）+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4-1,Y5), if (Y4>=1)
　　3*8*（1-0.10）+F(Y1-1,Y2-1,Y3-1,Y4,Y5), if (Y3>=1)
　　2*8*（1-0.05）+F(Y1-1,Y2-1,Y3,Y4,Y5), if (Y2>=1)
　　8+F(Y1-1,Y2,Y3,Y4,Y5), if (Y1>=1)
　　}

注意一点：我们每次进行扣除后，都要对剩下的书再次进行从大到小的排序。

例：
　　F(1,2,2,2,1)
　　= min{
　　5*8*（1-0.25）+F(0,1,1,1,0),
　　4*8*（1-0.20）+F(0,1,1,1,1),
　　3*8*（1-0.10）+F(0,1,1,2,1),
　　2*8*（1-0.05）+F(0,1,2,2,1),
　　8+F(0,2,2,2,1),
　　}
　　注意下面这一步就是再次进行从大到小的排序
　　= min{
　　5*8*（1-0.25）+F(1,1,1,0,0),
　　4*8*（1-0.20）+F(1,1,1,1,0),
　　3*8*（1-0.10）+F(2,1,1,1,0),
　　2*8*（1-0.05）+F(2,2,1,1,0),
　　8+F(2,2,2,1,0),
　　}

再解释下这个代码的过程，它其实就是一个穷举的过程，采用递归的方式，不过每次递归的时候都采用当前来说最好的扣除方案，不过具体扣除几个它都进行了穷举，最后把穷举的结果比较，看那个花费的少就返回哪个值，其实这个和上一个问题的烙饼的那个问题有点像。

代码就不贴了，网上很多，时间太紧了，我要赶紧去学机器学习了。