“买书问题”的贪心算法证明！

《编程之美》之1.4 “买书问题”的贪心算法证明。

对买书问题有变形的贪心算法证明：

算法如下：

1.         对给定要买的书籍书卷的数量按小到大排序，不妨设书卷（A,B,C,D,E）的各自购买数量为（x1,x2,x3,x4,x5）(x1<=x2<=x3<=x4<=x5).

2.         按照贪心算法得到有 【5】本书享受折扣 x1 次，【4】本享受x2-x1次, 【3】有x3-x2次，【2】有x4-x3次，【1】有x5-x4次。

3.         享受【5】本折扣{A,B,C,D,E}和【3】任意折扣{B,D,E}的总是能分拆成两份【4】折扣{A,B,D,E},{B,C,D,E}。故将第2步中所得的【5】x1，【3】x3-x2，合并入【4】折扣中.      {如x3-x2<=x1则新的折扣布局为【5】x1-x3+x2,【4】x2-x1+2*(x3-x2),【3】0,【2】x4-x3,【1】x5-x4.}

4.         按上述计算全部折扣。

 

        算法证明：设要购买y本书，并且按最优折扣有【5】y5,【4】y4,【3】y3,【2】y2,【1】y1。现在来考察最优折扣的解得结构。

          因为【5】+【3】总能拆分成【4】+【4】并且【4】+【4】=1.6>【5】+【3】.故在最优折扣中y5和y3必然有一个为0(或两个都为0)

        现在分情况讨论

 

y5=0.考察，【5】y5=0,【4】y4,【3】y3,【2】y2,【1】y1。                                          

【1】y1的集合中卷数必然只有一种（若有两重卷 书则够成【2】折扣），不妨设其为E。                                                      

 

【2】y2的集合中卷数必然只有两种（【3】+【1】>【2】+【2】），并且其中一种为卷E。不妨设为D,E。

 

同理：【3】y3集合中卷数种类只有三种，并包含D,E。不妨设为C,D,E.

 

【4】中可有五种卷，但其只能是{A,C,D,E},{B,C,D,E}类型折扣。若有不包含{CDE}型的折扣（如ABCD）则可与【3】中的CDE合并分拆成【5】+【2】>【4】+【3】.

 

这样就得到了：

	A	B	C	D	E
【5】	0	0	0	0	0
【4】	XA	XB	y4	y4	y4
【3】			y3	y3	y3
【2】				y2	y2
【1】					y1

         {A,B,C,D,E}的数量为（XA,XB,y3+y4,y3+y4+y2,y4+y3+y2+y1）, 其中XA+XB=y4.

        可知当书卷C数量y3+y4>= XA+XB=y4书卷A+B的数量时，用上述变形的贪心算法恰好得到最优折扣的解。

    

      当y5!=0,y3=0时候：考察，【5】y5,【4】y4,【3】y3=0,【2】y2,【1】y1。的结构。

【1】y1的集合中卷数必然只有一种（若有两重卷书则够成【2】折扣），不妨设其为卷E。                                                        

【2】y2的集合中卷数必然只有两种（【3】+【1】>【2】+【2】），并且其中一种为卷E。不妨设为D,E。

 

【3】y3=0。

 

【4】y4的集合中折扣类型必然都包含{D,E}。故为Z1{BCDE}，Z2{ACDE}，Z3{ABDE}，其中Z1+Z2+Z3=y4。

现在证明【4】中只能有两种折扣类型。（反证法）

若有三种 则有{BCDE}+{ACDE}+{ABDE}={ABCDE}+{ABCDE}+{DE}

但是折扣模型【4】+【4】+【4】<【5】+【5】+【2】所以与最优解矛盾。

故【4】y4中的折扣类型最多只能有两种。不妨设其为Z1{BCDE}，Z2{ACDE}

其中Z1+Z2=y4.    

 

【5】y5的集合为{A,B,C,D,E}。

 

现在有

	A	B	C	D	E
【5】	y5	y5	y5	y5	y5
【4】	Z1	Z2	y4	y4	y4
【3】			0	0	0
【2】				y2	y2
【1】					y1

        {A,B,C,D,E}的数量分别为（y5+Z1,y5+Z2,y5+y4,y5+y4+y2,y4+y5+y2+y1）, 其中 Z1+Z2=y4。当卷A+卷B数量y5+Z1+y5+Z2=2*y5+y4>y5+y4卷C的数量时候，最优折扣模型也可由上述变形的 贪心算法得到。

   综合上述，算法正确！

    代码：(假设数组a已经按小到大排序)

       float Optimize_ discount（int a[],int n=5）

             {

               If(a[0]>=a[2]-a[1])

{

return (a[0]+a[1]-a[2])*5*25%+(a[1]-a[0]+2a[2]-2a[1])*20%+(a[3]-a[2])*5%; }

               else

                  { return (a[1]-a[0]+2*a[0])*20%+(a[2]-a[1]-a[0])*10%+(a[3]-a[2])*5%;}

             }