HDU 1569 方格取数 最小割

本文介绍了一种解决最大流问题的有效算法——SAP算法,并通过实例详细展示了如何使用该算法来解决特定问题。文章首先定义了一个图结构并初始化图,接着详细解释了SAP算法的具体实现过程,最后通过一个具体的例子展示了如何根据节点的奇偶性来建立图模型,进而求解最小割问题。

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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1569

 

诶,直接套模板了~EK,SAP。。吼吼

说下建图:

把方格上的点根据(i+j)的奇偶性分成两组:

一. 设置一个源点连接每一个偶点,容量为这个点的值;

二. 设置一个汇点连接每一个奇点,容量同样为这个点的值;

三. 每一个偶点向相邻的奇点建边,容量无限大,然后求最小割(数值等于最大流),结果为总和减去最小割

### HDU1565 方格 动态规划 解题思路 对于给定的一个 \( n \times n \) 的棋盘,其中每个格子内含有一个非负值。目标是从这些格子里选一些,使得任何两个被选中的所在的位置没有公共边界(即它们不是上下左右相邻),并且使选出的之和尽可能大。 #### 构建状态转移方程 为了实现这一目的,可以定义二维组 `dp` 来存储到达某位置的最大累积值: - 设 `dp[i][j]` 表示当考虑到第 i 行 j 列时能够获得的最大价值。 初始化阶段,设置第一行的据作为基础情况处理;之后通过遍历整个矩阵来更新每一个可能的状态。具体来说,在计算某个特定单元 `(i, j)` 处的结果之前,应该先考察其上方以及左上角、右上角三个方向上的元素是否已经被访问过,并据此调整当前节点所能达到的最佳得分[^1]。 ```cpp for (int i = 0; i < N; ++i){ for (int j = 0; j < M; ++j){ dp[i][j] = grid[i][j]; // 上面一排的情况 if(i > 0 && !conflict(i,j,i-1,j)) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j] + grid[i][j]); // 左斜线方向 if(i > 0 && j > 0 && !conflict(i,j,i-1,j-1)) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + grid[i][j]); // 右斜线方向 if(i > 0 && j+1 < M && !conflict(i,j,i-1,j+1)) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j+1] + grid[i][j]); } } ``` 这里需要注意的是冲突检测函 `conflict()` ,用于判断两格之间是否存在直接连接关系。如果存在,则不允许同时选择这两格内的数字相加到路径之中去。 #### 寻找最优解 最终的答案将是最后一行中所有列的最大值之一,因为这代表了从起点出发直到终点结束可以获得的最大收益。可以通过简单的循环找到这个最大值并返回它作为结果输出。 ```cpp // 找到最后一行的最大值 __int64 result = 0; for(int col = 0; col < M; ++col) { result = max(result, dp[N-1][col]); } cout << "Maximum sum is: " << result << endl; ``` 上述方法利用了动态规划的思想有效地解决了该问题,时间复杂度大约为 O(n*m),空间复杂度同样决于输入规模大小。
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