欧拉恒等式的证明（原创方法）

欧拉恒等式

对于任何正整数n和任何整数a，满足gcd(a, n) = 1（即a和n互素）时，有$a^{\phi (n)}\equiv 1(\%n)$。

证明（原创方法）

一. $a$ 为素数的情况：

1. $a$ 为素数且 $n$ 为素数的情况：

$a^{\phi (n)}=a^{n-1}$。

利用费马小定理得 $a^{n-1}\equiv 1(\%n)$。

所以 $a^{\phi (n)}\equiv 1$ 成立。

2. $a$ 为素数且 $n$ 为合数的情况：

将 $n$ 进行质因数分解得：$a^{\phi (n)}=a^{\phi (p_1\times p_2\times \dots \times p_k)}$

利用欧拉函数得乘法性质得：$a^{\phi (p_1\times p_2\times \dots \times p_k)}=a^{\phi (p_1)\times \phi (p_2)\times \dots \times \phi (p_k)}$

变形得：

$=(a^{\phi (p_1)}{)}^{\phi (p_2\times \dots \times p_k)}$

$\%n$ 得：

$=(a^{\phi (p_1)}{)}^{\phi (p_2\times \dots \times p_k)}\%n$

$=(a^{\phi (p_1)}\%n{)}^{\phi (p_2\times \dots \times p_k)}\%n$

$=1^{\phi (p_2\times \dots \times p_k)}$

$=1$，成立。

二. $a$ 为合数得情况

将 $a$ 进行质因数分解得：$(q_1\times q_2\times \dots \times q_s{)}^{\phi (n)}$

$=q_1^{\phi (n)}\times q_2^{\phi (n)}\times \dots \times q_s^{\phi (n)}$

$\%n得：q_1^{\phi (n)}\%n\times q_2^{\phi (n)}\%n\times \dots \times q_s^{\phi (n)}\%n$

用上面得出得结论得：$1\times 1\times \dots \times 1=1$

至此，证毕。

废话

我证了4天，整整4天！