欧拉恒等式的证明（原创方法）

欧拉恒等式

对于任何正整数n和任何整数a，满足gcd(a, n) = 1（即a和n互素）时，有$a^{\phi (n)}\equiv 1(\%n)$。

证明（原创方法）

一. $a$ 为素数的情况：

1. $a$ 为素数且 $n$ 为素数的情况：

$a^{\phi (n)}=a^{n-1}$。

利用费马小定理得 $a^{n-1}\equiv 1(\%n)$。

所以 $a^{\phi (n)}\equiv 1$ 成立。

2. $a$ 为素数且 $n$ 为合数的情况：

将 $n$ 进行质因数分解得：$a^{\phi (n)}=a^{\phi (p_1}$