动态规划——用带权的有向图描述状态的转移

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已于 2024-04-14 12:10:12 修改

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分类专栏：动态规划题解文章标签：动态规划算法 c++

于 2024-04-14 09:05:21 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/MC_wansui/article/details/137607135

本文旨在教会读者用简单、快速、稳定的方法推出线性DP的转移方程。通过“一本通大盗阿福”“Acwing 股票买卖”等多道题目，介绍了用带权有向图描述状态转移来推导方程的方法，还讲解了确定状态转移方程边界值的方法及滚动数组优化。

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前言

此文章的作用：教会读者用简单、快速、稳定的方法推出线性DP的转移方程。

笔者希望通过一些题教会读者做所有线性DP的方法，而不是只教会读者这些题的解法。

我们发现：店铺越多，可以偷的店铺就越多，能得到的现金就越多。

举例：如果只有一家店铺，你就只能偷第一家，只能拿到第一家店铺的现金。但如果有三家店铺，你就可以偷第一和第三家，同时拿到第一家和第三家的现金。

这说明：（最多可以得到的现金）是（店铺数量）的函数

这又说明表示状态中肯定有一个维度是店铺数量。

所以暂时设 $dp_i$ ：偷前 $i$ 家店铺的最大值。

再次观察发现对于每个店铺只有偷和不偷两个选择。

所以设 $dp_{i,[0/1]}$ ：对于前 $i$ 家店铺， $[$ 不偷 $(0)$ $/$ 偷 $(0)$ $]$ 第 $i$ 家店铺的最大值。

有了状态，就要推状态转移方程了。

回归标题，我们用带权的有向图描述状态的转移，其中点表示状态，边表示状态的转移增量

先画出有哪些状态，如图：
在这里插入图片描述

先考虑 $dp_{i,0}$ 可以由那些状态转移过来

$dp_{i,0}$ 是否可以由 $dp_{i-1,0}$ 转移过来？两家店铺都没有偷，不会触发警报，可以转移。因为并当前状态没有选择偷第 $i$ 个店铺，所以转移增量为 $0$ 。所以，有一条边权为 $0$ 的边从 $dp_{i-1,0}$ 连向 $dp_{i,0}$ （边权为 $0$ 的默认不在图上标出边权）。

现在的图就变成了这样：

在这里插入图片描述

$dp_{i,0}$ 是否可以由 $dp_{i-1,1}$ 转移过来？只偷上一家店铺，不偷当前店铺，没有同时偷相邻的两家，不会触发警报，所以可以转移。同样因为并当前状态没有选择偷第 $i$ 个店铺，所以转移增量为 $0$ 。所以，有一条边权为 $0$ 的边从 $dp_{i-1,0}$ 连向 $dp_{i,0}$ （边权为 $0$ 的默认不在图上标出边权）。

现在的图就变成了这样:

在这里插入图片描述

现在考虑 $dp_{i,1}$ 可以由哪些状态转移过来

$dp_{i,1}$ 是否可以由 $dp_{i-1,0}$ 转移过来？只偷当前店铺，不偷上一家店铺，没有同时偷相邻的两家，不会触发警报，所以可以转移，因为并当前状态选择偷第 $i$ 个店铺，所以转移增量为 $w_i$ ，所以，有一条边权为 $w_i$ 的边从 $dp_{i-1,0}$ 连向 $dp_{i,0}$ 。