题解：CF1798C Candy Store

原创已于 2024-04-07 07:25:25 修改 · 747 阅读

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#c++ #算法

于 2024-04-06 21:19:02 首次发布

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文章讨论了如何通过计算一组糖果中各元素的最大公约数和最小公倍数来确定仅需一个价格标签的情况，提出了一种贪心策略：选择最大前缀，确保一个价格标签能覆盖，然后递归处理剩余部分。给出的C++代码实现了解决这个问题的方法。

首先考虑在什么情况下只用一个价格标签

设 $cos t$ 为这个价格标签，即 $cost=d1×b1=dn×bn=⋯=dn×bncost=d_1\times b_1=d_n\times b_n=\cdots=d_n\times b_n$ 。

可以看出 $cos t$ 能够被任意 $bi(1≤i≤n)b_i(1 \le i \le n)$ 整除，所以 $cos t$ 被 $,bn)\operatorname{lcm}(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 整除，其中 $lcm⁡\operatorname{lcm}$ 表示最小共倍数。

根据题意： $a_i$ 可以被 $d_i$ 整除，两边同乘以 $b_i$ 后就等价于 $ai×bia_i\times b_i$ 可以被 $di×bid_i\times b_i$ 整除。 $di×bid_i\times b_i$ 不就是 $cos t$ 吗？所以对于 $\le i \le n)$ 都有 $ai×bia_i \times b_i$ 可以被 $cos t$ 整除。所以 $gcd⁡(ai×bi)(1≤i≤n)\gcd(a_i \times b_i)(1 \le i \le n)$ 可以被 $cos t$ 整除。

因为：

$gcd⁡(ai×bi)(1≤i≤n)\gcd(a_i \times b_i)(1 \le i \le n)$ 可以被 $cos t$ 整除。
$cos t$ 可以被 $,bn)\operatorname{lcm}(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 整除。

所以只用一个价格标签的情况是：

$gcd⁡(ai×bi)(1≤i≤n)\gcd(a_i \times b_i)(1 \le i \le n)$ 可以被 $,bn)\operatorname{lcm}(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 整除。

理解了以上的，再来看下面的

不难理解，如果一组糖果只需要一个价格标签，那么如果从该组中移除任何一种糖果，仍然只需要一个价格标签。

这意味着一个简单的贪心算法将会奏效。让我们选择最大的前缀糖果，使得一个价格标签足以覆盖它，为这个前缀“贴”一个价格标签，并重复剩余糖果，直到数组结束。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n , a[2000005] , b[2000005] ;
ll __lcm(ll a , ll b){
	return a * b / __gcd ( a , b ) ;
}
void work(){
	cin >> n ;
	for(ll i = 1 ; i <= n ; i ++ )cin >> a[i] >> b[i] ;
	ll ans = 0 , k1 = a[1] * b[1] , k2 = b[1] ;
	for(ll i = 2 ; i <= n ; i ++ ){
		k1 = __gcd( k1 , a[i] * b[i] ) ;
		k2 = __lcm( k2 , b[i] ) ;
		if( k1 % k2 != 0 ){
			ans ++ ;
			k1 = a[i] * b[i] ;
			k2 = b[i] ;
		}
	}
	ans ++ ; // 更新最后面的一个价格标签 
	cout << ans << endl ;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	ll T ; cin >> T ;
	while(T--)work();
	return 0;
}