c++拦截导弹(Noip1999)

文章介绍了使用非增序算法计算导弹拦截系统在给定高度限制下的最大拦截数量,以及如何通过贪心方法确定拦截所有导弹所需的最少系统数量。

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拦截导弹(Noip1999)

描述

某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数,导弹数不超过1000),计算这套系统最多能拦截多少导弹,如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入

输入导弹依次飞来的高度。

输出

第一行:最多能拦截的导弹数;

第二行:要拦截所有导弹最少要配备的系统数。

输入样例 1 

389 207 155 300 299 170 158 65

输出样例 1

6
2
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main() {
    vector<int> missiles;
    int height;
    
    // 读取导弹的高度直到输入结束
    while (cin >> height) {
        missiles.push_back(height);
    }

    int n = missiles.size();
    // 最长非增子序列的长度,初始化每个长度为1
    vector<int> dp(n, 1);
    // 最多能拦截的导弹数(最长非增子序列的长度)
    int maxIntercept = 0;

    // 计算最长非增子序列的长度
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            if (missiles[j] >= missiles[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        maxIntercept = max(maxIntercept, dp[i]);
    }

    // 计算最少需要的系统数(贪心算法)
    // 每个系统独立处理为一个序列,当新系统需要时,尝试放入当前系统,否则新建系统
    vector<int> systems;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        bool isNewSystemNeeded = true;
        for (auto& sysHeight : systems) {
            // 如果存在某个系统的拦截高度大于等于当前导弹高度,则可以放入该系统
            if (sysHeight >= missiles[i]) {
                sysHeight = missiles[i];
                isNewSystemNeeded = false;
                break;
            }
        }
        if (isNewSystemNeeded) { // 需要新系统
            systems.push_back(missiles[i]);
        }
    }

    // 输出结果
    cout << maxIntercept << endl;
    cout << systems.size() << endl;

    return 0;
}

### C++ 实现拦截导弹问题 #### 解题思路 该问题可以通过贪心算法解决。核心思想是在每次选择中尽可能多地拦截导弹,从而减少所需的拦截系统数量。具体来说: - 对于第一个子问题(求最长下降子序列),可以采用动态规划的方法来寻找能够被一套系统拦截的最大导弹数。 - 对于第二个子问题(求最少需要几套系统才能完全拦截所有导弹),则通过不断构建新的拦截系统并分配无法被当前系统处理的导弹。 #### 动态规划求解最大可拦截数目 为了找到单个系统所能拦截最多的连续导弹数量,即求给定序列中的最长严格递减子序列长度。定义 `dp[i]` 表示以第 i 枚导弹结尾时可以获得的最大拦截数,则状态转移方程如下: \[ dp[i]=\max_{j<i \text{ and } h[j]>h[i]} (dp[j]+1), \quad \forall j=0,..,i-1 \] 其中 \( h[] \) 是表示每枚导弹的高度数组。初始条件设为每个位置至少能自己构成一个单独的拦截事件,因此初始化所有的 `dp[i]=1`. ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int main() { vector<int> heights; int n, temp; cin >> n; // 输入导弹总数 while(n--) { cin >> temp; heights.push_back(temp); } vector<int> dp(heights.size(), 1); // 初始化DP表,默认值都为1 int max_intercept = 1; for(int i = 1; i < heights.size(); ++i){ for(int j = 0; j < i; ++j){ if(heights[j] > heights[i]){ dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); } } max_intercept = max(max_intercept, dp[i]); } cout << "Single system can intercept at most: " << max_intercept << endl; } ``` 此部分实现了如何利用动态规划方法找出单一系统最多能拦截多少枚导弹的功能[^1]. #### 计算所需最小系统数量 针对第二问——确定完成全部拦截任务所需要的最少系统数量,这里采取了一种较为直观的方式:每当遇到一颗新导弹不能被现有任何一个正在工作的系统所覆盖时就启动一个新的系统负责它及其后续符合条件的其他导弹。这样做的依据在于新增加的一颗导弹总是会形成一个新的局部最优解的一部分,而不会影响之前已经形成的更优的整体方案。 ```cpp // 继续上面的例子... set<int> active_systems; // 存储当前活跃系统的最高拦截高度 for(auto& height : heights){ auto it = active_systems.lower_bound(height); if(it != begin(active_systems)){ --it; *it = height; // 更新对应系统的最新拦截高度 }else{ active_systems.insert(height); // 启动新系统 } } cout << "Minimum systems required to intercept all missiles: " << active_systems.size() << endl; ``` 上述代码片段展示了怎样高效地追踪和管理多个独立运作但又相互协作的拦截系统的工作流程,最终输出满足题目要求的结果[^2].
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