Leetcode 96 - Unique Binary Search Trees（dp or Catalan）

题意

给定一个数n，求有n个节点的BST的数目（节点的值依次是1到n）。

思路

就一Catalan数。

我们求解有3种方法：

1. $C_n = \frac{1}{n + 1}{2n \choose n}$
2. $C_{n + 1} = \frac{2(2n+1)}{n + 2}C_n \quad C_0 = 1$
3. dp：同Catalan数的公式

证明

首先，Catalan数的公式：$C_{n+1} = \sum\limits_{i = 0}^{n}{C_iC_{n - i}}$

然后，我们来这样考虑，一个有n + 1个节点的BST，假设我们根节点的值为i + 1，那么，小于i + 1的所有值（1到i）都在左子树，大于i + 1的所有值都在右子树（n - i个），并且，每个子树都为BST。

我们设有i个节点的BST数目为$p_i$，那么，我们假设我们以$i + 1$作为根节点的BST数目为$p_i \cdot p_{n - i}$。

并且，我们可以用0到n这n + 1个数作为根节点，此时，我们有n个节点的所有BST数目为$p_{n + 1} = p_0\cdot p_n + p_1 \cdot p_{n - 1} + ... + p_n \cdot p_0 = \sum\limits_{i = 0}^{n}{p_i \cdot p_{n - i}}$，即Catalan数。

细节

解法1需要注意会爆long long，需要__int128
解法2会爆int需要long long

代码

//algorithm 1
#define LL __int128
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        LL res1 = 1, res2 = 1;
        for (LL i = n + 2; i <= (LL)2 * n; i++) {res1 *= i;}
        for (LL i = 1; i <= (LL)n; i++) res2 *= i;
        return res1 / res2;
    }
};


//algorithm 2
#define LL long long
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        LL x = 1; // init, x = C0
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            x = (LL)(2 * (2 * i - 1) * x) / (i + 1);
        }
        return x;
    }
};

//algorithm 3
const int maxn = 30;
int d[maxn];

class Solution {
public:
    int dfs(int n) {
        if (d[n] != -1) return d[n];
        d[n] = 0;
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            d[n] += (dfs(k) * dfs(n - 1 - k));
        }
        return d[n];
    }

    int numTrees(int n) {
        memset(d, -1, sizeof(d));
        d[0] = 1;
        return dfs(n);
    }
};