Leetcode 523 - Continuous Subarray Sum（Math）

题意

给一个由非负正数组成的数组和一个数k，要求在数组中找一段长度$\geq 2$的序列使其和是k的整数倍。

思路

算法1

$O(n^2)$时间，$O(n)$空间

维护数组的前缀和$s$，对于当前$s_i$，遍历$s_i$之间是否存在一个$s_j$满足$(s_i - s_j) \% k = 0 \quad k \neq 0$

注意$k = 0$的情况。

算法2

如果要求和刚好为k的话，我们对于当前和$s_i$，只需要知道之前是否存在$s_j = s_i - k$即可，于是可以用unordered_map$O(1)$的去查找。

既然是k的整数倍，我们可以利用%的性质：

$x \% p = a$等价于$x = pn + a \quad (1)$

$y \% p = a$等价于$y = pm + a \quad (2)$

$(2)$和$(1)$相减既有：$y - x = p(m - n)$，即$y - x$是的整数倍。

所以，我们不维护前缀和而是前缀和%k之后的值x，并且用map保存每个x出现的最早位置，当再次出现x的时候，并且长度大于1，那么就是我们的结果。

代码

algorithm 1

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        vector<int> sum(nums.size(), 0);
        if (nums.size()) {
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum[i] = (i ? sum[i - 1] : 0) + nums[i];
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                if (k == 0) {
                    if (i && sum[i] == 0) return true;
                } else {
                    if (sum[i] % k == 0 && i) return true;
                }
                for (int j = 0; j < i - 1; j++) {
                    int x = sum[i] - sum[j];
                    if (k == 0) {
                        if (x == 0) return true;
                    } else {
                        if (x % k == 0) return true;
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

algorithm 2

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        unordered_map<int, int> pos;
        if (nums.size()) {
            int sum = 0; pos[0] = -1;
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                sum += nums[i];
                if (k) sum %= k;
                if (pos.count(sum)) {
                    int x = pos[sum];
                    if (i - x > 1) return true;
                } else {
                    pos[sum] = i;    
                }
            }
        }
        return false;
    }
};