OFDM 原理

[一些基础知识]

1. 复数

• 在人类的发展进程中,数的定义范围是在不断扩大的,从自然数到整数(加入负整数)到有理数(加入分数)到实数(加入无理数)再到复数(加入虚数). 其中,虚数的加入使得对负数开根号有了意义,从而让根号在复数上闭环.

• 实际上一个复数 $a+bj$ 表示的是一个向量. 只不过我们可以用复平面来表示这个向量, 复平面(Re-Im)很像直角坐标平面(x-y).
  在复平面上, $j$ 的作用是把一个复数逆时针旋转90度. 比如本来b是一个横轴正方向上的数,逆时针旋转90后就变成纵轴正方向的数了. 进一步来看, $i^2=-1$ 也就很好理解了,因为转了180度.

• 注意复平面并不是直接坐标平面. 比如 $y=a{x}^2+bx+c$. 我们都知道$y=0$的解就是看这个二次曲线和x轴的交点. 那么
  $\Delta =b^2-4ac>0$ 时, 二次曲线和x轴有两个交点, 因此有两个实数根
  $\Delta =b^2-4ac=0$ 时, 二次曲线和x轴有一个交点(顶点), 因此有一个实数根
  $\Delta =b^2-4ac<0$ 时, 二次曲线和x轴没有交点, 因此没有实数根
  但是其实第三种情况是有两个复数根的,比如 $x^2+1=0$ 的根是 $i$ 和 $-i$. 多出两个根的原因是,我们本来是在x轴上找根,也就是说我们认为x只能取实数(实数轴和x轴重叠),但现在我们在一整个复平面上找根.

• 复平面上的加减是与向量加减一致的,复数的乘积是模相乘,角度相加,因为复数可以写成 $s=a+bj=|s|e^{j{\theta }_s}$的形式.

• $s=a+bj=|s|e^{j{\theta }_s}$ 这个形式引申出很elegent的欧拉公式 $e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$. 显然对于复平面上的单位圆来说, $cos\theta +jsin\theta$ 就是圆上一点. 那么根据欧拉公式, 其实复指数 $e^{j\theta }$ 的物理含义就是顺着正实轴逆时针在单位圆上转圈$\theta$度得到的点. 实际上 $e^j={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{j}{n}{)}^n$ 就是把复数 1 乘以$n$个$(1+\frac{j}{n})$. 根据复数乘法定义, 这相当于把复数1逆时针旋转n次,每次旋转$(1+\frac{j}{n})$的度数. 最终会旋转1 rad = $360/(2\pi )$度. 综上, $e^j$是把复数1旋转1 rad,那么 $e^{j\theta }$ 就是把复数1旋转$\theta$弧度($\theta$单位得是rad,而不是度). 更精确的推论可搜索"如何理解欧拉公式".

2. 子载波

• 在角度匀速旋转时，旋转速度称为频率rad/s. 所有连续的实频率构成频率域。

• 一个频率可以作为一个载波。OFDM通信通常要利用相邻的$N$个正交(子)载波:
  $$\left\{e^{j2\pi f_{s}t}=e^{j2\pi \frac{k}{T_s}t}:k=0,1,...,N-1;0\le t\le T_s\right\}$$
  其中 $T_s$ 是一个OFDM symbol的持续时长。注意，这N个载波的区别，随着 $t/T_s$ 在连续区间 $[0,1]$ 内的变化，他们的旋转速度是不同的。特别的, 当 $t/T_s$ 从 $0$ 到 $1$,
  – $k=0$, 角度（相位）始终不变化;
  – $k=1$, 角度转一圈，从 $0$ 到 $2\pi$;
  – $k=2$, 角度转两圈，从 $0$ 到 $4\pi$;
  – $k=N-1$, 角度转 $N-1$ 圈，从 $0$ 到 $2(N-1)\pi$;

• 所谓的 $N$ 个正交载波是指它们两两正交。其中，第i-th载波和第j-th载波正交的定义是
  $$\frac{1}{T_s}{\int }_0^{T_s}{e}^{j2\pi \frac{i}{T_s}t}{\left[e^{j2\pi \frac{j}{T_s}t}\right]}^{\ast }dt=\delta (i-j)$$
  这是连续函数在 $[0,T_s]$ 上的积分，如果拆成实部虚部分别积分，会发现当 $i\ne j$时，实部虚部均是正交的。

• 上文中，我们考虑了在一段时间长度 $[0,T_s]$，上面有 $N$ 个子载波，且两两正交。现在我们考虑对这一段时间长度均匀采样。采样速度我们选为 $T_s/N$，那么采样时间为 {nTs/N+τ:n=0,1,2,...,N−1;0≤τ≤Ts/N}\left\{nT_s/N+\tau:n=0,1,2,...,N-1;0\leq\tau\leq T_s/N \right\}{nTs​/N+τ:n=0,1,2,...,N−1;0≤τ≤Ts​/N} 得到了$N$个采样点。我们发现，对于不同的子载波，这$N$个采样点构成的向量仍然是正交的。具体来说，对于第i-th载波和j-th载波仍然满足
  $$\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi \frac{i}{T_s}(\frac{n{T}_s}{N}+\tau )}{e}^{-j2\pi \frac{j}{T_s}(\frac{n{T}_s}{N}+\tau )}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi (i-j)\frac{n}{N}}{e}^{j2\pi \frac{i-j}{T_s}\tau }=\delta (i-j)$$
  注意多出来的$\tau$是一个固定的phase term，每个采样点都有相同的附加phase: $i=j$时候全为1，$i\ne j$时，所有向量全部加成了0(刚刚好转了整数圈).

• 特别的，上式是一理想情况，即各个子载波的 $\tau$ 都是一样的。那如果两个子载波有时延，他们的相关性会怎样尼？
  $$\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi \frac{i}{T_s}(\frac{n{T}_s}{N}+\tau )}{e}^{-j2\pi \frac{j}{T_s}(\frac{n{T}_s}{N}+\tau +\Delta \tau )}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi (i-j)\frac{n}{N}}{e}^{-j2\pi \frac{j\Delta \tau }{T_s}}=e^{-j2\pi \frac{j\Delta \tau }{T_s}}\delta (i-j)$$
  与上式相比 $i=j$ 时模值不变但多了一个phase term，而且这个phase随着子载波频率升高而变大。但这个phase不会超过$2\pi$。点对点ODFM中，接收信号和本地载波间有一个 $\Delta \tau$， 且这个 $\Delta \tau$ 对所有子载波都是一样的， 那么解出来的频域信号每个符号都多出一个相位，且相位随着子载波序号变大而变大。ODFMA中，各个接收子载波和本地子载波的 $\Delta \tau$ 都不一样，因此解出来的符号上的附加相位都不一样。

注意我们传输时并不需要利用所有的子载波, 比如 $N=16$ , 但我们只用第0, 1, 2, 3这四个子载波. 他们仍然还是正交的, 而且接收端可以采用更低的采样率了. 其实这也就相当于从 $N=16$ 变成 $N=4$.

有一个问题是, $N=16$ 时候频率最高的那个子载波采样率到底够不够nyquist rate？真正的ofdm第0个子载波是不能用的 而且还有负频率. 高频时候负频率也会变正, 那么基带负频率有什么含义?

[OFDM]

1. 单载波通信, 多载波通信和OFDM
   假设我们有一段带宽 $B$ Hz和一段需要发送的modulated symbols.
   – 若使用传统的单载波传输方式，我们会完全利用 $B$ Hz的带宽用 $B$ Hz的速度传输这些symbol . 那么每个symbol的持续时长是 $1/B$ s. 传输 $N$ 个symbols需要的时间是 $N/B$.
   – 若使用多载波的传输方式，我们可以把这 $B$ Hz的带宽分成 $N$ 份, 相当于有了 $N$ 个子信道进行传输。实际传输时, 我们对高速的 $B$ Hz的基带短symbol先进行串并变换，变成 $N$ 路信号。特别的，每一路symbol的持续时长拉长到以前的N倍变成长信号，即 $N/B$. 这样每一路所占的带宽仅仅是以前的 $1/N$ 即 $B/N$. 这样就可以用刚刚分好的 $N$ 个子信道传输每一路数据.

注意, 多载波通信相对于单载波并没有额外增益，即还是在B的带宽上用N/B的时长传输了N个symbols。但是好处在于，N个子载波单独过信道，不容易超过相干带宽引起频率选择性衰落换言之频率信道在子载波上基本上保持不变但在整个B Hz上却很容易改变. 相干带宽由最大多径时延决定, 也就是说频率选择性衰落其实是多径衰落. 当有多径时, 短symbol收到的影响更大,也就有更严重的ISI (也就需要更强大的均衡器,而多载波不需要). 我想知道, ISI在频率上到底是什么样的衰落?有什么表现?

– OFDM 与两者的区别

FMT - Filtered Multi-tone 用滤波器实现子载波的相互正交(无干扰)
ACI - adjacent chanel interference
VC - Virtual carrier 作为保护带宽的外侧子载波

2. ODFM通信链路（发送端）
   
   如上图所示, 本身占据整个带宽的短symbols经过串并变换后分散到了各个子载波上. 速度变低也使得他们只占据一个子载波的带宽. 对于第 $k$ 路数据 ($k=0,1,...,N-1$),我们将symbol乘以载波 $e^{j2\pi f_{k}t}$, 其中 $f_k=\frac{k}{T_s}$, $0\le t\le T_s$. 也就是说, 在复平面上, 第k路信号从复数 $s_k$ 开始 ($t=0$) 在一个OFDM符号周期 $T_s$ 内转动 $k$ 圈. 经过各个子载波调制后的信号相加得到了OFDM调制信号
   $$\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k{e}^{j2\pi f_{k}t}$$
   这是一个连续信号, 因为我们的载波是一个连续的 $t$. 实际上我们在基带处理时, 载波是用离散的采样点来代表的 (采样时刻 $t=n\frac{T_s}{N}+\tau ,n=0,1,...,N-1$). 最后得到的信号是一个序列 {sn′:n=0,1,...,N−1}\left\{s'_n:n=0,1,...,N-1\right\}{sn′​:n=0,1,...,N−1}, 也就是对上面连续信号的采样 (如图中equation所示). 由于发射端我们可以控制，因此载波采样初始相位一般直接可以设置为 $\tau =0$，那么最终得到的信号为
   $$s_n^{\prime }=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k{e}^{j2\pi \frac{kn}{N}},n=0,1,2,...,N-1$$
   与途中相比，这里我们多加了个 $1/N$ 的归一化过程。从而，这 $N$ 个采样点 {sn′:n=0,1,...,N−1}\{s'_n:n=0,1,...,N-1\}{sn′​:n=0,1,...,N−1} 刚刚好是 $N$ 个子载波上面放置的 $N$ 个symbols {sk:k=0,1,...,N−1}\{s_k:k=0,1,...,N-1\}{sk​:k=0,1,...,N−1} 的 IDFT. 因此，我们一般认为开始传输的是频域信号，经过“各个子载波调制再加和再sample”相当于做一次IDFT转换成时域信号.

3. ODFM通信链路（接受端-无信道）
   接收端的架构和发送端是对称的，首先是解子载波的调制。这一过程我们利用的是子载波之间的正交性。对离散信号的子载波解调如下（若想写成连续信号形式那就是积分）.
   首先，不考虑信道的话，接收信号应该就是发出去的长度为 $N$ 的sequence {sn′:n=0,1,...,N−1}\{s'_n:n=0,1,...,N-1\}{sn′​:n=0,1,...,N−1}. 那么假设我们解出来的频域sequence是 {ym:m=0,1,...,N−1}\{y_m:m=0,1,...,N-1\}{ym​:m=0,1,...,N−1}, 则每个symbol的解法如下
   $$y_m=\sum _{n=0}^{N-1}{s}_n^{\prime }{e}^{-j2\pi \frac{nm}{N}}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k{e}^{j2\pi \frac{kn}{N}}\right)e^{-j2\pi \frac{nm}{N}}=\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi \frac{(k-m)n}{N}}=\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k\delta (k-m)=s_m$$
   最终得到的 {ym:m=0,1,...,N−1}\{y_m:m=0,1,...,N-1\}{ym​:m=0,1,...,N−1} 是接收序列 {sn′:n=0,1,...,N−1}\{s'_n:n=0,1,...,N-1\}{sn′​:n=0,1,...,N−1} 的 DFT.

注意其实接受序列是由连续信号采样得到，因此真正的采样结果会有一个 $\tau$ 多出来。即，各个子载波与本地载波有一个固定的时偏/相位差，此时
$$\begin{gathered} y_m=\sum _{n=0}^{N-1}{s}_n^{\prime }{e}^{-j2\pi \frac{nm}{N}}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k{e}^{j2\pi \frac{kn}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }\right)e^{-j2\pi \frac{nm}{N}} \\ =\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi \frac{(k-m)n}{N}}=\sum _{k=0}^{N-1}{s}_k\delta (k-m)e^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }=s_m{e}^{j2\pi \frac{m}{T_s}\tau } \end{gathered}$$
此时第 $m$ 路解出来的信号除了 $s_m$ 还会带有一个phase, 这个多余的phase随着 $m$ 从 0 到 $N-1$ 刚刚好转一圈.

[ODFM in Multi-path Channel]

信道

我们都知道, 从A点给B点发信息, 信号的强度会随着AB距离的增加而减弱, 这是因为信道的大尺度衰落(包括路径损耗和障碍物引起的阴影衰落). 除了大尺度衰落之外, 还存在小尺度衰落. 它造成的结果是, 1) 即使AB均保持不动, B接受的信号幅度也会不停的波动. 这种现象不仅因为噪声, 还因为现实通信中不可避免的多径效应, 每条路径的时延功率都会发生变化. 2) AB之间存在相对移动时, 即使多径情况不发生变化，多普勒扩展也会使得信号频率发生变化(一个相对速度对应一个多普勒频移), 从而使信道发生变化。

具体来说，信道可用 “相干带宽” 和 “相干时间” 来刻画。
– 相干带宽 相干带宽指的是频域信道保持不变的带宽。显然当信号带宽 < 相干带宽时, 整个信号经历相同的信道 (信道恒定幅度, 线性相位); 当信号带宽 > 相干带宽时, 信号的某些频率分量就会被信道滤波, 从而无法保证一致的发送频谱. 相关带宽的大小显然是看H(f), 也就是 $h(\tau )$ 的傅里叶变换. 最终最大多径时延和相干带宽成反比. 传输的符号不管长短都会受到多径的影响,只要有多径就会有ISI, 但是只要符号时长 $T_s$ 大于最大多径时延, 信号带宽就会小于相干带宽, 信号就不会经历频率选择性衰落信道 (从时域分析,我不理解为什么符号时长 $T_s$ 大于最大多径时延就没有就没有频率选择性衰落,比如只有两径, 我感觉第二径不管时延多大对原信号的decode影响都是一样的,除非没有时延相干叠加. 但是书上会说只要$T_s$ 大于最大多径时延,当前符号就不会对下个符号造成太大影响, ISI不显著).

– 相干时间 对于静止的物体来说, 相干带宽已经可以刻画信道的特性, 但是通常用户和BS之间会有相对移动, 而一个相对移动速度对应着一个多普勒频偏. 多普勒频偏会使得载波发生偏移从而变相的让发送信号的带宽变大, 而变大的幅度取决于最大相对速度. 显然, 发送端在移动时, 根据速度的变化接收端收到的频率也不同很容易超过相干带宽导致信道发生变化. 最大速度决定了最大多普勒频移, 也就决定了相干时间大小. 运动得越快, 相干时间越小 (信道越容易发生变化). 因此符号时长太长了更容易经历大于相干时间从而经历时间选择性衰落信道.

CP for ICI and ISI

OFDM 中, 子载波是在一个长OFDM符号上连续变化的 (即 $T_s$ 内只会调制一个符号), 因此符号周期应该看一个OFDM符号的周期 $T_s$. OFDM系统中需要避免的两种干扰是 ICI (子载波间干扰) 和 ISI (OFDM符号间干扰). 造成ICI的原因是子载波间的正交性无法得到满足, 而ISI主要是因为多径造成前后symbol相互混叠.

为了对抗多径, OFDM符号一般会附加一段循环前缀CP. CP的作用是, 即使有多径, 只要小于CP长度, 我们还是能成功采样出完整的一个OFDM符号从而消除ICI. 但是实际系统中由于存在定时偏差STO, 最终选取FFT框时可能会选在任意位置. 假设CP长度为 $T_c$, ODFM符号长度为 $T_s$, 最大多径时延是 $T_{\tau }$. 那么

– 如果FFT框起始点在 $[0,T_{\tau }]$, 则我们会得到一个完整的OFDM符号, 因此不会有ICI; 但是会有ISI因为上一符号会有干扰.
– 如果FFT框起始点在 $[T_{\tau },T_c]$, 则我们会得到一个完整的OFDM符号, 因此不会有ICI; 上一符号也没干扰因此也没有ISI.
– 如果FFT框起始点在 $[T_c,T_s]$, 则我们连一个完整的OFDM符号都得不到, 因此有ICI; 而且也有ISI因为下一符号会有干扰.

Independent channels for Sub-carriers

在上一节中, 我们已经由预发送的频域符号 $s_k$ 得到发送端的基带传输信号 $s_n^{\prime }$. 为了书写更明确, 我们令 $x[n]=s_n^{\prime }$, $S[k]=s_k$, 则
$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{kn}{N}},n=0,1,2,...,N-1$$
其中, $n$是对模拟信号的采样index, 每个采样点都是 $N-1$ 个载波的叠加.

考虑基带离散信道 {h[n],n=0,1,...,∞}\{h[n], n = 0, 1,...,\infty\}{h[n],n=0,1,...,∞}, 接收信号为

$$\begin{gathered} y[n]=h[n]\ast x[n]+w[n]=\sum _{m=0}^{\infty }h[m]x[n-m]+w[n] \\ =\sum _{m=0}^{\infty }h[m]\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{k(n-m)}{N}}+w[n] \end{gathered}$$

对 $y[n]$ 这个N点序列进行离散傅里叶变换, 得到

$$\begin{gathered} Y[k^{\prime }]=\sum _{n=0}^{N-1}y[n]e^{-j2\pi \frac{n{k}^{\prime }}{N}}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{\infty }h[m]\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{k(n-m)}{N}}\right)e^{-j2\pi \frac{n{k}^{\prime }}{N}}+W[k^{\prime }] \\ =\sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{\infty }h[m]e^{j2\pi \frac{-km}{N}}\right)\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{(k-k^{\prime })n}{N}}+W[k^{\prime }]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}H[k]S[k]e^{j2\pi \frac{(k-k^{\prime })n}{N}}+W[k^{\prime }] \end{gathered}$$

1. 变换成DFT套IDFT的形式解

$$=\sum _{n=0}^{N-1}\left(\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}H[k]S[k]e^{j2\pi \frac{kn}{N}}\right)e^{j2\pi \frac{-k^{\prime }n}{N}}+W[k^{\prime }]=H[k^{\prime }]S[k^{\prime }]+W[k^{\prime }]$$.

2. 用子载波正交性解
   $$=\sum _{k=0}^{N-1}H[k]S[k]\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{j2\pi \frac{(k-k^{\prime })n}{N}}+W[k^{\prime }]=\sum _{k=0}^{N-1}H[k]S[k]\delta (k-k^{\prime })+W[k^{\prime }]=H[k^{\prime }]S[k^{\prime }]+W[k^{\prime }]$$

结论: 从发送端IDFT前在子载波上放符号，到接受端DFT之后解出的频域信号，中间 “IDFT+多径信道+DFT” 可以看作
各子载波单独过信道，用一个抽头为1的均衡器即可以去除信道 {h(n):n=0,1,...,∞}\{h(n): n=0,1,...,\infty\}{h(n):n=0,1,...,∞} 的影响。
多径信道对信号的作用是卷积，在上CP之后多径信道的作用就变成循环卷积了。对于一个序列来说，时域循环卷积等于频域（IDFT）对应点乘

With STO

在以上的推导中，其实我们是假设接收端的perfect sampling的。我们发送的信号是对载波调制信号在{nTs/N:n=0,1,...,∞}\{nT_s/N:n=0,1,...,\infty\}{nTs​/N:n=0,1,...,∞}处的采样结果，接收信号也直接用这个发送信号与信道卷积得到

子载波调制 $\to$ 发送端采样 $\to$ 信道卷积 $\to$ 接收信号 $\to$ FFT

但是实际情况中，由于STO我们接受端采样不可能那么精准，因此更general的采样时刻应该是 {(n−n′)TsN+τ:n=0,1,...,N−1}\{\frac{(n-n')T_s}{N}+\tau:n=0,1,...,N-1\}{N(n−n′)Ts​​+τ:n=0,1,...,N−1}, 其中 $n^{\prime }$ 是整数倍采样偏差， $\tau$ 是小数倍采样偏差 $0\le \tau \le \frac{T_s}{N}$. 而且注意， 这里
$n=0,1,...,N-1$, 则有
$n-n^{\prime }=-n^{\prime },1-n^{\prime },2-n^{\prime },...,-1,0,1,...,N-1-n^{\prime }$。 由于有CP的存在，我们进一步有
$n-n^{\prime }=N-n^{\prime },N-n^{\prime }+1,...,N-1,0,1,2,...,N-1-n^{\prime }$.

因为信道卷积只是几个径的叠加，因此我们把这个采样的不精准放在发送端，即让发送端采样就已经不精准了，此时

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{k(n-n^{\prime })}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau },n=0,1,2,...,N-1$$

注意，采样不精准仅仅该变每一路 $S[k]$ 乘的相位而已。其实对一个OFDM的符号采样，每一个采样点唯一的不同就是每一路 $S[k]$ 乘的载波相位不同（随着时间一直旋转）。

接收信号是信道卷积而来：

$$\begin{gathered} y[n]=h[n]\ast x[n]+w[n]=\sum _{m=0}^{\infty }h[m]x[n-m]+w[n] \\ =\sum _{m=0}^{\infty }h[m]\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{k(n-n^{\prime }-m)}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }+w[n],n=0,1,2,...,N-1 \end{gathered}$$

对 $y[n]$ 这个N点序列进行离散傅里叶变换, 得到

$$\begin{gathered} Y[k^{\prime }]=\sum _{n=0}^{N-1}y[n]e^{-j2\pi \frac{n{k}^{\prime }}{N}}=\sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{\infty }h[m]\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{k(n-n^{\prime }-m)}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }\right)e^{-j2\pi \frac{n{k}^{\prime }}{N}}+W[k^{\prime }] \\ =\sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=0}^{\infty }h[m]e^{j2\pi \frac{-km}{N}}\right)\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{(k-k^{\prime })n}{N}}{e}^{-j2\pi \frac{k{n}^{\prime }}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }+W[k^{\prime }] \\ =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{N-1}H[k]S[k]e^{j2\pi \frac{(k-k^{\prime })n}{N}}{e}^{-j2\pi \frac{k{n}^{\prime }}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }+W[k^{\prime }] \\ =\sum _{k=0}^{N-1}H[k]S[k]\delta (k-k^{\prime })e^{-j2\pi \frac{k{n}^{\prime }}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau }+W[k^{\prime }] \\ =H[k^{\prime }]e^{-j2\pi \frac{k^{\prime }{n}^{\prime }}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k^{\prime }}{T_s}\tau }S[k^{\prime }]+W[k^{\prime }] \end{gathered}$$.
结论: “IDFT+多径信道+DFT+无ISI和ICI的采样偏差” 仍可以看作子载波单独过信道，区别是频域信道在本身多径信道的基础上多了一个相位

与无循环移位的比较

当然，我们也可以把 $x[n]$ 直接定义成

$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]e^{j2\pi \frac{kn}{N}}{e}^{j2\pi \frac{k}{T_s}\tau },n=N-n^{\prime },...,N-1,0,1,2,...,N-1-n^{\prime }.$$

实际上就相当于对 $x[n]$ 做了一次循环移位，比如由 {x[0],x[1],x[2],x[3]}\{x[0], x[1], x[2], x[3]\}{x[0],x[1],x[2],x[3]} 变成了 {x[3],x[0],x[1],x[2]}\{x[3], x[0], x[1], x[2]\}{x[3],x[0],x[1],x[2]} ($n^{\prime }=1$). 第一种写法还是延续之前的index $n$, 而第二种重新定义了新的index $n$. 我们采用第一种写法。则有