MIT 线性代数 Linear Algebra 21:特征值，特征向量，总结

ok, 终于进入了第二部分的核心，特征值和特征向量

首先，我们可以把矩阵想象成一个函数，普通的函数，给他一个 $x$, 它输出一个 $y$, 对于矩阵 $\mathbf{A}$ 来说，给定一个 vector $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, 它输出一个 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^m$:
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{y}$$

因此当 $\mathbf{A}$ 是方阵时，它相当于是 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中的一个变换，把一个 vector 转换成另一个 vector。从这一讲开始，我们关心的问题是，给定一个 ${\mathbf{A}}_{n\times n}$，有哪些 vector $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 经过变换之后仍然和 $\mathbf{x}$ 同向？这句话可以用以下定义表述。

定义

给定矩阵 ${\mathbf{A}}_{n\times n}$, $\text{rank}(\mathbf{A})=r$,
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}(1)$$

成立的 $\lambda$ 称为$\mathbf{A}$ 的特征值 ($\lambda$ 可以是0，可以是负数，可以是复数)，$\mathbf{x}$ 称为$\mathbf{A}$ 的特征向量（$0$ 不是特征向量）。

一个首先可以想到的结论是，如果 $\mathbf{A}$ 满秩，则说明 $\mathbf{A}\mathbf{x}\ne 0$ if $\mathbf{x}\ne 0$, 这也就意味着 $\lambda \ne 0$。反之，如果 $\mathbf{A}$ 不满秩，则说明 $\mathbf{A}$ 的 null space里一定有非零 $\mathbf{x}$ 使得 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$, 所以 λ=0\lambda = 0