MIT 线性代数 Linear Algebra 9: 向量空间的一些定义(线性独立，基，维度)

本节内容都是一些定义，实际上我们之前已经接触过了。让我们总结一下：

linear independent 线性独立

给定一组向量 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1​,v2​,...,vn​}，若
$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+...+c_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}=0$$

仅有零解 $c_1=c_2=...=c_n=0$, 则我们称 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1​,v2​,...,vn​} 线性独立。否则，线性相关。

spanning a space

给定一组向量 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1​,v2​,...,vn​}，他们张成（span）的空间即为它们线性组合后的向量构成的空间。

basis

一个vector space的basis是一组满足以下两个条件的向量 {v1,v2,...,vn}\{\bm{v_1,v_2,...,v_n}\}{v1​,v2​,...,vn​}

1. linear independent.
2. span the vector space.

换句话说，$n$ 是这个空间内最大的线性无关的向量组中向量的个数。

我们经常使用的basis是standard basis, e.g., $[1,0,0{]}^{\top },[0,1,0{]}^{\top },[0,0,1{]}^{\top }$.

dimension

就是上面的 $n$了，通常写作 $\text{dim}(V)=n$, 其中 $V$ 是一个vector space.

over，这节课就是这么简单~~