卡特兰数|斯特灵数

最新推荐文章于 2023-10-26 21:42:35 发布

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本文详细介绍了卡特兰数和斯特灵数的定义、递推公式及应用场景。卡特兰数广泛应用于括号匹配、二叉树形态计数等问题；斯特灵数分为第一类和第二类，分别用于解决不同类型的组合计数问题。

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卡特兰数
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304, 14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262, 11959798385860453492, 45950804324621742364, ...

一般项公式：C[n] = C(n,2n) / (n+1) 
其他公式：	C[n] = C(n,2n) - C(n+1,2n)
			C[0] = 1 and C[n+1] = C[0]*C[n] + C[1]*C[n-1] + ... +C[n]*C[0]
			C[0] = 1 and C[n+1] = 2*(2*n+1) / (n+2) * C[n]
常用：C[1] = 1 and C[n] = C[n] * (4*n-2) / (n+1)

应用：	1、n对括号有多少种匹配方式？
		2、矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
		3、一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
		4、n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？
		5、在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？
		6、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？
		7、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？
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/*

Stirling数
第一类：n个人分成K组,每组内再按特定顺序围圈分组方法的数目
S[i][0] = 0;
S[i][i] = 1;
S[n][k] = S[n-1][k-1] + (n-1) * S[n-1][k]

第二类：n个人分成k组的分组方法的数目
S[i][0] = 0;
S[i][i] = 1;
S[n][k] = S[n-1][k-1] + k * S[n-1][k]
*/