2064. 分配给商店的最多商品的最小值

【算法题解】最小化最大分配：分配商品到商店的二分查找方案

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题目描述

给定 n 间零售商店和 m 种不同种类的商品。
其中每种商品的数量用数组 quantities 表示，quantities[i] 表示第 i 种商品的总数。

分配规则：

• 每间商店最多只能拥有 一种商品（但可以拥有多件该种商品）。
• 分配后，每间商店分配的商品数目可以是 0（即允许不分配商品的商店）。
• 目标是要使得所有商店中，分配商品数目的最大值 x 尽可能小。

你需要返回这个最小可能的最大分配值 x。

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举例说明

• 输入：n = 6, quantities = [11, 6]
  输出：3
  解释：
  • 商品种类0的11件分配到4间商店，分配数量分别是 [2, 3, 3, 3]
  • 商品种类1的6件分配到2间商店，分配数量分别是 [3, 3]
  • 所有商店中最大商品数是3，且无法更小。
• 输入：n = 7, quantities = [15, 10, 10]
  输出：5
  解释：
  • 种类0分到3间，每间5件
  • 种类1分到2间，每间5件
  • 种类2分到2间，每间5件
  • 最大值为5。
• 输入：n = 1, quantities = [100000]
  输出：100000
  解释：
  • 只有一间商店，必须全部放进去。

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题目分析

题目的核心限制是：

• 每间商店只能放一种商品类别；
• 但是一个类别的商品可以拆分到多间商店；
• 我们要最小化“任何一间商店最多有多少商品”的最大值。

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关键问题转换

给定一个最大容量 x，判断是否能用 n 个商店，把所有商品都分完。

对于第 i 种商品，数量为 q，每间商店最多放 x 件，那么该商品需要的商店数是：
$\text{needed}=\lceil \frac{q}{x}\rceil =\frac{q+x-1}{x}$

将所有商品需要的商店数相加，若总数不超过 n，说明这个 x 是可行的。

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解题思路：二分查找 + 贪心判定

由于 x 的取值范围是 [1, max(quantities)]，
我们可以用二分查找来确定最小的可行值 x：

1. 设置 left = 1，right = max(quantities)。
2. 计算中间值 mid = (left + right) // 2。
3. 调用判定函数 canDistribute(mid) 判断是否可行：
   • 如果可行，尝试缩小上界 right = mid。
   • 否则，扩大下界 left = mid + 1。
4. 直到 left == right，返回这个值。

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代码实现示例（Python）

from typing import List

class Solution:
    def minimizedMaximum(self, n: int, quantities: List[int]) -> int:
        def canDistribute(x: int) -> bool:
            shops_needed = 0
            for q in quantities:
                shops_needed += (q + x - 1) // x  # 计算需要多少商店
                if shops_needed > n:  # 超过总商店数，说明不可行
                    return False
            return True

        left, right = 1, max(quantities)
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            if canDistribute(mid):
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
        return left

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复杂度分析

• 判定函数 canDistribute 对所有商品做一次遍历，时间复杂度为 O(m)，m 是商品种类数。
• 二分查找最多需要 O(log(max(quantities))) 次判定。
• 总时间复杂度为：O(m * log(max(quantities)))，对题目给定的输入规模（最大10^5）是可接受的。

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代码流程示意

假设 quantities = [11, 6], n = 6，二分查找范围为 [1, 11]：

• mid = 6，判定需要商店数：
  • 商品0：11件，每间商店最多6件，商店数 = ceil(11/6) = 2
  • 商品1：6件，每间商店最多6件，商店数 = 1
  • 总共需要商店数 = 3 <= 6，成立，尝试减小范围 right = 6
• mid = 3，判定：
  • 商品0：ceil(11/3) = 4
  • 商品1：ceil(6/3) = 2
  • 总共需要6，等于n，成立，right = 3
• mid = 2，判定：
  • 商品0：ceil(11/2) = 6
  • 商品1：ceil(6/2) = 3
  • 总共9 > 6，不成立，left = 3
• 结束，返回 3

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总结与思考

• 核心难点：如何判断某个最大分配数 x 是否能分配完所有商品。
• 关键技巧：使用二分查找缩小搜索范围，判定函数保证了算法的高效。
• 该方法广泛适用于这类「最小化最大值」的拆分/分配问题。

如果想进一步优化，可考虑利用数据结构加速，但本题规模下二分+贪心已经足够。