1954. 收集足够苹果的最小花园周长

LeetCode 1954 | 苹果的最小周长花园 —— 数学与二分查找的完美结合

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题目描述

你有一个无限大的二维网格花园，每个整数坐标 (i, j) 处都有一棵苹果树。该位置的苹果树结有 |i| + |j| 个苹果，其中 |x| 表示 x 的绝对值。

你打算购买一块以 (0,0) 为中心的正方形土地，且正方形的每条边都平行于坐标轴。

给定一个整数 neededApples，表示你希望在这块土地中（包括边缘）至少采集到这么多苹果。请返回这块土地最小的周长。

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绝对值定义：

• 若 x >= 0，则 |x| = x
• 若 x < 0，则 |x| = -x

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题目示例

• 示例 1：

输入：neededApples = 1

输出：8

解释：边长为 1（即范围 [-0.5,0.5]）的正方形不包含任何整数坐标点，边长为 2（即范围 [-1,1]）的正方形内有12个苹果，满足需求。周长为 2 * 4 = 8。

• 示例 2：

输入：neededApples = 13

输出：16

• 示例 3：

输入：neededApples = 1000000000

输出：5040

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解题分析

这是一个数学求和与二分查找结合的题目。

1. 正方形的范围和周长

• 正方形中心固定在 (0, 0)。

假设正方形边长为 2n，则正方形的范围是：

• $ x \in [-n, n], \quad y \in [-n, n] $

周长为：

• 4×边长=4×2n=8n

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2. 计算正方形内苹果数

对于正方形内所有坐标 (i, j)，苹果数总和是：

$ \sum_{i=-n}^n \sum_{j=-n}^n (|i| + |j|) $

拆开求和：

$ = \sum_{i=-n}^n \sum_{j=-n}^n |i| + \sum_{i=-n}^n \sum_{j=-n}^n |j| = (2n+1) \sum_{i=-n}^n |i| + (2n+1) \sum_{j=-n}^n |j| $

因为对称性：

$ \sum_{i=-n}^n |i| = 2 \sum_{k=1}^n k = n(n+1) $

因此：

苹果总数=2(2n+1)n(n+1)

3. 问题转化为数学不等式

我们需要找最小的正整数 n 满足：

$ 2 (2n + 1) n (n + 1) \geq neededApples $

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4. 解法策略：二分查找

• 由于 n 单调增加时，苹果总数单调增加，可以用二分法高效求解。
• 设定二分边界，例如 left=0，right=10^7（或更大），直到找到最小满足条件的 n。

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解题代码（Python）

class Solution:
    def minimumPerimeter(self, neededApples: int) -> int:
        left, right = 0, 10**7  # 较大的上界
        
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            apples = 2 * (2 * mid + 1) * mid * (mid + 1)
            if apples >= neededApples:
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
                
        return 8 * left

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代码解析

• apples 通过数学公式计算对应正方形内苹果总数，无需遍历所有点，时间复杂度为 O(1)。
• 利用二分查找找到最小 n，使得苹果数满足要求，时间复杂度 O(log N)。
• 最后返回周长 8 * n。

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示例验证

• neededApples = 1
  • 当 n=0，苹果数=0，不满足。
  • 当 n=1，苹果数=12，满足，周长=8。
• neededApples = 13
  • n=1，苹果数=12，不满足。
  • n=2，苹果数=60，满足，周长=16。
• neededApples = 1000000000
  • 代码运行结果：5040。

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方法优缺点分析和比较

方法	时间复杂度	空间复杂度	说明
直接遍历	O(n²)	O(1)	会超时，网格无限大
数学公式计算	O(1)	O(1)	快速计算任意边长的苹果数
二分查找 + 数学	O(log N)	O(1)	结合数学计算，效率最高

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总结

• 本题巧妙利用了对称性和数学公式，将问题从遍历无限点的暴力计算，转化为数学表达式计算。
• 利用单调性应用二分查找，快速找到满足条件的最小边长 n。
• 代码简洁高效，满足大数据量的需求。