1824. 最少侧跳次数

【算法题】最少侧跳次数 —— 青蛙过三跑道障碍问题详解

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题目描述

给你一条长度为 n 的道路，道路有 3 条跑道，总共包含 n + 1 个点，编号从 0 到 n。青蛙从起点 0 处的 第 2 条跑道 出发，目标是跳到第 n 号点的任意一条跑道。

道路上可能存在障碍。用一个长度为 n + 1 的数组 obstacles 表示：

• obstacles[i] 的取值范围是 0 到 3。
• 如果 obstacles[i] = k （k != 0），则表示第 i 个点的第 k 条跑道上有一个障碍。
• 如果 obstacles[i] = 0，则该点所有跑道无障碍。

题目要求：

• 青蛙可以从点 i 的某条跑道跳到点 i+1 同跑道（如果没有障碍）。
• 青蛙也可以在同一点 i 处，侧跳（换跑道），条件是换过去的跑道在该点没有障碍。
• 青蛙从点 0 的第 2 跑道出发，想跳到点 n 任意跑道，求 最少侧跳次数。

注意：点 0 和点 n 的任意跑道均无障碍。

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题目示例

假设 obstacles = [0,1,2,3,0] 表示：

• 点0无障碍
• 点1第1条跑道有障碍
• 点2第2条跑道有障碍
• 点3第3条跑道有障碍
• 点4无障碍

青蛙从点0跑道2出发，要跳到点4，避免障碍，最少侧跳次数是多少？

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解题分析

这道题的关键在于：

• 青蛙想尽量少侧跳；
• 只能向前跳到下一点同跑道上无障碍的位置；
• 如果前方受阻，可以在当前点换跑道（侧跳），但不能跳到有障碍的跑道。

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思考方式

• 起点在点0跑道2，侧跳次数为0。
• 如果下一点同跑道无障碍，可以直接跳，不用侧跳。
• 如果下一点有障碍，就必须在当前点换跑道侧跳，再继续跳。
• 目标是求最少侧跳次数。

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解题方法

使用动态规划（DP）或贪心策略模拟每个点每条跑道的最少侧跳次数。

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状态定义

• 设 dp[i][j] 表示到达第 i 个点，处于第 j 条跑道时的最少侧跳次数。
• 跑道编号 j 范围是 1~3。
• 青蛙从 (0,2) 出发，因此：
  • dp[0][2] = 0
  • 其他跑道初始为 ∞ （或者可以设为1，表示必须侧跳一次）

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状态转移

对于点 i （从 0 到 n-1）：

• 先检查点 i+1 各跑道是否有障碍：
  • 如果 obstacles[i+1] == j，跑道 j 不可用，dp[i+1][j] = ∞。
  • 否则，可以尝试：
    • 如果从跑道 j 的 dp[i][j] 可达，则 dp[i+1][j] = dp[i][j]（直接跳，无需侧跳）。
• 对于当前点 i ，考虑侧跳：
  • 对于跑道 j，尝试从其他两条跑道侧跳过来，侧跳次数 +1。
  • 更新 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + 1)，其中 k != j。

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状态压缩优化

因为我们只用到前一个点的信息，可以用一维数组 dp[j] 表示当前点处第 j 条跑道的最少侧跳次数。

• 初始：
  • dp = [∞, 1, 0, 1] （下标0不用）
• 每处理一个点 i：
  • 设置 dp[obstacles[i]] = ∞ 表示该跑道被障碍阻断不可达
  • 找出当前 dp 中的最小值 min_dp
  • 对未阻断的跑道 j 更新：dp[j] = min(dp[j], min_dp + 1) 表示可以侧跳过来

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代码实现

from typing import List

class Solution:
    def minSideJumps(self, obstacles: List[int]) -> int:
        n = len(obstacles) - 1
        dp = [float('inf')] * 4
        # 起点0跑道2侧跳次数0，跑道1和3各需要1次侧跳跳过来
        dp[1], dp[2], dp[3] = 1, 0, 1

        for i in range(1, n + 1):
            # 把有障碍的跑道设为不可达
            dp[obstacles[i]] = float('inf')
            # 找当前点所有跑道的最小侧跳次数
            min_dp = min(dp[1], dp[2], dp[3])
            # 更新其他跑道侧跳次数（可能通过侧跳变得更小）
            for j in range(1, 4):
                if obstacles[i] != j:
                    dp[j] = min(dp[j], min_dp + 1)
        return min(dp[1], dp[2], dp[3])

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，遍历一次 obstacles 数组，每个点处理3条跑道的状态更新。
• 空间复杂度：O(1)，使用长度为4的一维 dp 数组，空间使用固定。

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示例讲解

以 obstacles = [0,1,2,3,0] 为例：

• 起点：dp = [∞,1,0,1]
• 点1障碍在跑道1，dp[1] = ∞
  • 计算当前最小侧跳次数 = min(dp) = 0
  • 其他跑道更新为 min(dp[j], 0 + 1) 即 dp[2] = 0, dp[3] = 1
• 点2障碍跑道2，dp[2] = ∞
  • 最小侧跳次数是 min(∞, ∞, 1) = 1
  • dp[1] = min(∞, 1+1=2) = 2, dp[3] = 1 (保持不变)
• 点3障碍跑道3，dp[3] = ∞
  • 最小侧跳次数是 min(2, ∞, ∞) = 2
  • dp[1] = 2, dp[2] = min(∞, 2+1=3) = 3
• 点4无障碍
  • 最小侧跳次数是 min(2, 3, ∞) = 2
  • 更新dp[1], dp[2], dp[3] 最小分别为 2, 3, 3

最终最小值是2，表示青蛙至少要侧跳2次才能到达点4。

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总结

本题核心考察对状态转移的理解与优化。通过维护每个点上三条跑道的最少侧跳次数，动态规划可以高效求解问题。状态压缩使得空间复杂度降为常数。