1828. 统计一个圆中点的数目-优快云博客

【算法题解析】统计圆内点的数量 —— LeetCode 1828 “统计圆内点的数目”

题目描述

给你一个二维平面上的点集 points，其中每个点 points[i] = [x_i, y_i] 表示第 i 个点的坐标。注意，可能存在多个点坐标相同的情况。

同时给你一个查询列表 queries，其中每个查询 queries[j] = [x_j, y_j, r_j] 表示一个圆，圆心为 (x_j, y_j)，半径为 r_j。

请你对每个查询圆统计：有多少点位于该圆内或圆的边界上。最后返回一个数组 answer，其中 answer[j] 是第 j 个查询的答案。

解题分析

题目要求我们对于多个圆查询，统计这些圆内包含的点的个数。对每个查询圆，我们需要检查所有点，判断它们是否落在该圆内。

判断点 (x_i, y_i) 是否在以 (x_j, y_j) 为圆心、半径为 r_j 的圆内的条件是：

$(xi−xj)2+(yi−yj)2≤rj2(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 \leq r_j^2$

满足该条件的点计数即为答案。

解决方案

方法一：暴力枚举

对每一个查询圆，遍历所有点，判断点是否在圆内，统计数量。

步骤：
1. 初始化一个结果数组 answer。
2. 对于每个查询圆 (x_j, y_j, r_j)：
  - 计算半径平方 r_j^2。
  - 遍历所有点 (x_i, y_i)：
    - 判断 (x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 是否小于等于 r_j^2。
    - 如果满足，计数器加一。
  - 将计数结果加入 answer。
3. 返回 answer。
代码示例（Python）：

from typing import List

class Solution:
    def countPoints(self, points: List[List[int]], queries: List[List[int]]) -> List[int]:
        answer = []
        for xj, yj, rj in queries:
            count = 0
            r_sq = rj * rj
            for xi, yi in points:
                dx = xi - xj
                dy = yi - yj
                if dx * dx + dy * dy <= r_sq:
                    count += 1
            answer.append(count)
        return answer

复杂度分析

时间复杂度：
由于对每个查询，我们都遍历一遍所有点，时间复杂度为 O(Q * N)，其中 Q 是查询数量，N 是点的数量。
空间复杂度：
除了存储输入和输出，空间开销为常数 O(1)。

优化思路

当点和查询数量特别大时，暴力方法可能会超时。可采用空间数据结构进行优化，比如：

空间划分结构：四叉树 (Quadtree)、KD 树等，用于快速查询空间范围内的点。
离散化 + 预处理：在二维空间中对点坐标进行离散化，构建二维前缀和等辅助结构。

这些方法适合进阶使用，适合对大数据集进行快速查询。

示例说明

假设输入如下：

points = [[1,3],[3,3],[5,3],[2,2]]
queries = [[2,3,1],[4,3,1],[1,1,2]]

对第一个查询圆 (2,3,1)：
- 半径平方为 1。
- 检查每个点：
  - (1,3): 距离平方 (1-2)^2 + (3-3)^2 = 1 <= 1，计数 +1。
  - (3,3): 距离平方 1 <= 1，计数 +1。
  - (5,3): 距离平方 9 > 1，不计数。
  - (2,2): 距离平方 1 <= 1，计数 +1。
- 结果：3 个点。
对第二个查询圆 (4,3,1)：
- 半径平方为 1。
- 检查点：
  - (1,3): 距离平方 9 > 1，不计数。
  - (3,3): 距离平方 1 <= 1，计数 +1。
  - (5,3): 距离平方 1 <= 1，计数 +1。
  - (2,2): 距离平方 5 > 1，不计数。
- 结果：2 个点。
对第三个查询圆 (1,1,2)：
- 半径平方为 4。
- 检查点：
  - (1,3): 距离平方 4 <= 4，计数 +1。
  - (3,3): 距离平方 8 > 4，不计数。
  - (5,3): 距离平方 20 > 4，不计数。
  - (2,2): 距离平方 2 <= 4，计数 +1。
- 结果：2 个点。