1769. 移动所有球到每个盒子所需的最小操作数

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题目：将所有小球移动到每个盒子的最少操作数

题目描述

题目示例

解题分析

解题方法

方法一：暴力计算

代码实现

复杂度分析

优化思路（可选）

示例说明

总结

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题目：将所有小球移动到每个盒子的最少操作数

题目描述

给定一个长度为 n 的二进制字符串 boxes，其中：

• boxes[i] = '0' 表示第 i 个盒子是空的，
• boxes[i] = '1' 表示第 i 个盒子里有一个小球。

你可以进行如下操作：

• 每一步可以将一个小球从某个盒子移动到与之相邻的盒子中（相邻定义为索引差绝对值为 1）。

注意，操作后盒子中可以存在多个小球堆叠。

要求返回一个长度为 n 的数组 answer，其中 answer[i] 表示将所有小球移动到第 i 个盒子所需的最少操作数。

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题目示例

示例 1：

输入：boxes = "110"
输出：[1,1,3]

解释：
- 将所有小球移到第 0 个盒子时：
  从第 1 个盒子移动 1 步，总共 1 步。
- 将所有小球移到第 1 个盒子时：
  从第 0 个盒子移动 1 步，总共 1 步。
- 将所有小球移到第 2 个盒子时：
  第 0 盒子小球移动 2 步，
  第 1 盒子小球移动 1 步，
  共计 3 步。

示例 2：

输入：boxes = "001011"
输出：[11,8,5,4,3,4]

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解题分析

对于每个盒子 i，我们需要计算将所有小球移动到盒子 i 位置的总操作数。

• 移动操作的“代价”是小球从原来盒子到目标盒子之间的距离，距离为两盒子索引之差的绝对值。
• 由于每步只能移动到相邻盒子，距离即为移动步骤数。
• 多个小球的移动步数相加即可得到总步数。

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解题方法

方法一：暴力计算

1. 找出所有含有小球的盒子索引，存为列表 positions。

对每个目标盒子 i，计算所有小球从其当前位置到 i 的距离总和，即：

1. answer[i]=∑pos∈positions∣pos−i∣answer[i] = \sum_{pos \in positions} |pos - i|
2. 返回答案数组。

这是一种直观易懂的方法。

代码实现

from typing import List

class Solution:
    def minOperations(self, boxes: str) -> List[int]:
        n = len(boxes)
        positions = [i for i, ch in enumerate(boxes) if ch == '1']
        
        answer = []
        for i in range(n):
            total_moves = 0
            for pos in positions:
                total_moves += abs(pos - i)
            answer.append(total_moves)
        return answer

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * m)，其中 n 是盒子数，m 是小球数。
  对于每个盒子，我们都遍历所有小球位置计算距离。
• 空间复杂度：O(m)，用于存储所有小球的位置。

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优化思路（可选）

如果 n 和 m 较大，这个解法会变慢。可以通过前缀和和差分技巧，将复杂度优化到 O(n)。

简要思路：

• 先统计所有小球的个数和位置的和。
• 使用前缀和维护当前左边和右边小球的数量和距离代价。
• 递推计算下一个盒子所需的操作数。

但这种实现较复杂，需要较强的算法基础，这里暂不展开。

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示例说明

以 boxes = "110" 为例：

• 小球位置 positions = [0, 1]

计算每个盒子：

• 盒子 0：|0-0| + |1-0| = 0 + 1 = 1
• 盒子 1：|0-1| + |1-1| = 1 + 0 = 1
• 盒子 2：|0-2| + |1-2| = 2 + 1 = 3

最终返回 [1, 1, 3]，与示例一致。

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总结

这道题主要考察对距离计算的理解和数组遍历。简单的暴力解法就能通过大部分测试，但可以用前缀和做进一步优化。

希望这篇博客帮你理清思路！如果你想了解前缀和优化版本，也可以告诉我，我来帮你写。