1680. 连接连续二进制数字

目录

拼接二进制数字并取模 —— LeetCode 1680题详解

题目描述

解题分析

关键点

解题方法

位运算拼接方法

如何高效计算 length

代码实现（Python）

复杂度分析

示例说明

总结与扩展

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拼接二进制数字并取模 —— LeetCode 1680题详解

题目描述

给定一个整数 n，将从 1 到 n 的所有整数的二进制表示依次连接起来，得到一个巨大的二进制字符串。然后将这个二进制字符串转换成十进制数，求这个十进制数对 10^9 + 7 取余的结果。

示例：

• 输入：n = 1
  输出：1
  解释：二进制字符串为 "1"，对应十进制 1。
• 输入：n = 3
  输出：27
  解释：二进制字符串为 "1" + "10" + "11" = "11011"，对应十进制 27。
• 输入：n = 12
  输出：505379714
  解释：二进制字符串连接结果为 "1101110010111011110001001101010111100"，对应十进制数非常大，取模后结果为 505379714。

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解题分析

题目要求的是将从 1 到 n 的所有整数的二进制表示拼接成一个长字符串，然后转换成十进制并对 10^9 + 7 取模。

关键点

• 直接拼接所有二进制字符串后转换十进制会产生极大的数字，导致内存和时间不可行。
• 需要采用逐步计算并取模的方法，利用二进制的位运算实现拼接。
• 拼接操作本质是：res = res << length(i) + i，其中 length(i) 是数字 i 的二进制位数。
• 对结果不断取模，避免数值溢出。

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解题方法

位运算拼接方法

对于每个数字 i：

1. 计算 i 的二进制位数 length。
2. 将当前结果左移 length 位，相当于为 i 留出空间。
3. 将 i 加到结果中。
4. 对结果取模。

如何高效计算 length

• 直接用 length = floor(log2(i)) + 1 计算每个数字位数，但对大 n 效率稍低。
• 优化思路：二进制长度只有在数字是2的幂时才会增加。

• • 利用位运算判断 i 是否为2的幂：(i & (i - 1)) == 0。
  • 每遇到2的幂，length 加1。

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代码实现（Python）

class Solution:
    def concatenatedBinary(self, n: int) -> int:
        MOD = 10**9 + 7
        res = 0
        length = 0  # 当前数字的二进制长度

        for i in range(1, n + 1):
            # 判断是否是2的幂，长度加1
            if (i & (i - 1)) == 0:
                length += 1
            res = ((res << length) + i) % MOD

        return res

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，遍历从1到n的每个数字，计算并拼接。
• 空间复杂度：O(1)，只用常数空间存储结果和长度变量。

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示例说明

以 n = 3 为例：

• i = 1，二进制是 "1"，长度 length = 1，结果 res = 0 << 1 + 1 = 1
• i = 2，二进制是 "10"，长度增加到 2，结果 res = 1 << 2 + 2 = 4 + 2 = 6（二进制 "110"）
• i = 3，二进制是 "11"，长度不变为2，结果 res = 6 << 2 + 3 = 24 + 3 = 27（二进制 "11011"）

最终结果为27，与题目描述一致。

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总结与扩展

这道题充分考察了二进制的位运算及取模技巧：

• 用左移实现拼接操作高效简洁。
• 利用判断2的幂来减少计算位数的开销。
• 对大数求模的技巧。