1686. 石子游戏 VI

目录

Alice 和 Bob 的石子游戏 — 多维价值博弈问题详解

题目描述

题目分析

解题思路

关键点

为什么按总价值排序？

具体方法

代码实现（Python）

复杂度分析

示例说明

小结

---

Alice 和 Bob 的石子游戏 — 多维价值博弈问题详解

题目描述

Alice 和 Bob 有一堆石子，共计 n 个。两人轮流从这堆石子中取出一个石子，Alice 先手。

每个石子对 Alice 和 Bob 来说，价值不同。具体来说，用两个长度为 n 的数组表示这堆石子：

• aliceValues[i] 表示第 i 个石子对 Alice 的价值。
• bobValues[i] 表示第 i 个石子对 Bob 的价值。

游戏进行时，轮到某人取石子时，他（她）从剩余石子中拿走一个，并获得对应于自己的价值积分。两人都知道对方的价值判断标准，且都采用 最优策略。

游戏结束后（所有石子被取完），得分较高者获胜，若得分相同，则为平局。

请你根据 aliceValues 和 bobValues，判断游戏最终结果：

• 如果 Alice 获胜，返回 1。
• 如果 Bob 获胜，返回 -1。
• 如果平局，返回 0。

---

题目分析

这道题表面看似普通的“轮流取石子”，但复杂之处在于：

• 两人的评判标准不同，同一个石子对双方价值不同。
• 两人均知道彼此的价值评判，且都用最优策略。
• 取石子顺序会影响双方最终得分，双方都会争夺高价值石子。

因此，这不是简单的贪心取最大价值的问题，而是需要考虑双方对石子的综合价值以及对方的策略。

---

解题思路

关键点

• 玩家轮流取石子，石子被取走后消失。
• 由于双方知道对方价值且都理性最优，会优先抢夺双方综合价值高的石子。
• 对双方来说，“总价值”是 aliceValues[i] + bobValues[i]。
• 按照这个总价值排序石子，是双方争夺的核心。

为什么按总价值排序？

假设有两个石子：

• 石子A：Alice值10，Bob值5，总和15。
• 石子B：Alice值3，Bob值12，总和15。

两个石子总价值相同，但 Alice 和 Bob 对两者偏好不同。

如果先取石子A，Alice得10分，Bob放弃了5分。

如果先取石子B，Bob得12分，Alice放弃了3分。

双方会权衡争夺最大“总价值”的石子，因为那代表“分数差”最大。

---

具体方法

1. 计算所有石子总价值
   对每个石子 i，计算 aliceValues[i] + bobValues[i]。
2. 将石子按总价值从大到小排序
   形成一个新的石子顺序。
3. 轮流选择石子

• • Alice 先选，取第一个石子，得分加 aliceValues[i]。
  • Bob 选第二个石子，得分加 bobValues[i]。
  • 依次类推，轮流取石子。

1. 计算最终得分差

• • Alice 和 Bob 的总分相比较。
  • Alice 得分高返回 1，Bob 得分高返回 -1，平局返回 0。

---

代码实现（Python）

from typing import List

class Solution:
    def stoneGameVI(self, aliceValues: List[int], bobValues: List[int]) -> int:
        n = len(aliceValues)
        # 按照 aliceValues[i] + bobValues[i] 降序排序，得到石子的选择顺序
        stones = sorted(range(n), key=lambda i: aliceValues[i] + bobValues[i], reverse=True)
        
        alice_score, bob_score = 0, 0
        # 轮流选择石子
        for i, stone in enumerate(stones):
            if i % 2 == 0:  # Alice 轮
                alice_score += aliceValues[stone]
            else:  # Bob 轮
                bob_score += bobValues[stone]
        
        if alice_score > bob_score:
            return 1
        elif alice_score < bob_score:
            return -1
        else:
            return 0

---

复杂度分析

• 排序复杂度为 O(n log n)，其中 n 是石子数量。
• 遍历石子累计得分是 O(n)。
• 总体复杂度为 O(n log n)，适合大规模输入。

---

示例说明

示例1：

aliceValues = [1, 3]
bobValues = [2, 1]

• 石子0总价值 = 1 + 2 = 3
• 石子1总价值 = 3 + 1 = 4

排序后顺序：石子1 (4), 石子0 (3)

• Alice先拿石子1，得分 3
• Bob拿石子0，得分 2

结果：Alice 3 vs Bob 2，返回 1（Alice胜）

---

示例2：

aliceValues = [1, 2]
bobValues = [3, 1]

• 石子0总价值 = 1 + 3 = 4
• 石子1总价值 = 2 + 1 = 3

排序后顺序：石子0 (4), 石子1 (3)

• Alice先拿石子0，得分 1
• Bob拿石子1，得分 1

结果：Alice 1 vs Bob 1，返回 0（平局）

---

小结

• 这道题的难点在于两人价值不同且相互知道对方的评分标准。
• 解决方案基于双方理性、最优策略选择，采用了“石子综合价值排序”的贪心思想。
• 按总价值排序确保双方优先争夺对双方都有较大影响的石子，从而实现最优策略。
• 最后计算两人得分差即可判断胜负。