1508. 子数组和排序后的区间和-优快云博客

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计算所有连续子数组和的排序区间和 — 题解与实现

题目描述

给定一个数组 nums，包含 n 个正整数。需要计算该数组中所有非空的连续子数组的和，并将这些和组成的新数组进行升序排序。新数组的长度为： $\frac{n \times (n + 1)}{2}$

因为每个非空连续子数组都会对应一个和。

之后，要求计算排序后数组中从第 left 个数字到第 right 个数字（下标从 1 开始）的和，并将结果对 10^9 + 7 取模。

题目分析

所有非空连续子数组和的个数：对于长度为 n 的数组，有多少个非空连续子数组呢？
答案是 $\frac{n \times (n + 1)}{2}$ 。例如，长度为4的数组有10个非空连续子数组。

如何快速计算所有子数组的和？
计算所有子数组的和暴力方法是遍历所有 (i, j)，求和；这会是 O(n^3) 的时间复杂度，很慢。
可以借助前缀和数组，令 prefix[i] 表示 nums[0] 到 nums[i-1] 的和。这样任意子数组和可以在 O(1) 时间内得到：

$\text{subarray\_sum}(i, j) = prefix[j+1] - prefix[i]$
排序与区间求和
生成的所有子数组和存入一个数组，排序后即可按题目要求取区间 [left, right] 和。
注意结果可能很大，需要对 10^9 + 7 取模。

解题方法

1. 计算前缀和数组

构造一个长度为 n+1 的前缀和数组 prefix，其中：

prefix[0] = 0
prefix[i+1] = prefix[i] + nums[i]

2. 计算所有子数组和

遍历所有可能的子数组起点 i 和终点 j，利用前缀和快速计算：

sums.append(prefix[j+1] - prefix[i])

这一步时间复杂度为 O(n^2)。

3. 排序

对所有子数组和排序，时间复杂度 $O(n^2 \log n^2) = O(n^2 \log n)$ 。

4. 取区间和并对结果取模

计算排序数组中 [left-1:right] 的和，然后对 10^9+7 取模返回。

代码示例（Python）

from typing import List

class Solution:
    def rangeSum(self, nums: List[int], n: int, left: int, right: int) -> int:
        MOD = 10**9 + 7
        
        # 1. 构造前缀和数组
        prefix = [0] * (n + 1)
        for i in range(n):
            prefix[i + 1] = prefix[i] + nums[i]
        
        # 2. 计算所有子数组和
        sums = []
        for i in range(n):
            for j in range(i, n):
                sums.append(prefix[j + 1] - prefix[i])
        
        # 3. 排序
        sums.sort()
        
        # 4. 取区间和并取模
        return sum(sums[left - 1:right]) % MOD