1504. 统计全 1 子矩形-优快云博客

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统计全为 1 的子矩形数量 —— 二维矩阵子矩形计数问题解析

统计全为 1 的子矩形数量 —— 二维矩阵子矩形计数问题解析

题目描述

给定一个 m × n 的二进制矩阵 mat，矩阵中的元素非 0 即 1。请你统计并返回所有元素全部为 1 的 子矩形（连续子矩阵）的数量。

什么是子矩形？
矩阵中的任意一个由连续的若干行和若干列组成的子区域都称为子矩形。

题目举例

例如，给定如下矩阵：

mat = [
  [1, 0, 1],
  [1, 1, 0],
  [1, 1, 0]
]

满足全 1 的子矩形包括：

所有单个 1 的元素（共 6 个）
2×1 的子矩形（如第2行第1、2列的子矩形）
3×1 的子矩形（如第1列整列全是1）
等等……

最终统计所有满足条件的子矩形的个数。

解题分析

关键点

矩阵中元素只能是0或1，且子矩形中全部为1。
需要统计所有满足条件的子矩形数量，不是最大面积，而是数量。

直接思路

枚举矩阵中所有可能的子矩形，然后判断它们是否全部为1，时间复杂度极高（O(m² * n² * mn)），无法接受。

优化思路

要提高效率，需要利用动态规划或预处理思想：

预计算每个位置连续的1宽度
对矩阵的每一行，预计算每个元素左侧连续1的长度，记为 width[i][j]。
例如：

mat = [1, 1, 0, 1]
width = [1, 2, 0, 1]

利用width统计子矩形数量
枚举矩阵的每个元素 (i, j) 作为子矩形的右下角，往上扩展行数，计算每行的最小连续1宽度min_width，子矩形宽度不能超过这个值。

这样以 (i, j) 为右下角的所有全1子矩形数量，就是往上每一行宽度的最小值之和。

代码实现

class Solution:
    def numSubmat(self, mat: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(mat), len(mat[0])
        
        # width[i][j]: 第 i 行第 j 列向左连续1的数量
        width = [[0] * n for _ in range(m)]
        
        # 计算连续1宽度
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if mat[i][j] == 1:
                    width[i][j] = width[i][j-1] + 1 if j > 0 else 1
        
        result = 0
        # 以每个点为右下角，向上扩展统计子矩形
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if mat[i][j] == 1:
                    min_width = width[i][j]
                    for k in range(i, -1, -1):
                        min_width = min(min_width, width[k][j])
                        if min_width == 0:
                            break
                        result += min_width
        
        return result

代码详解

第一步：width 数组的计算
通过遍历每一行元素，计算当前位置的连续1长度，方便后续快速判断子矩形宽度。
第二步：统计以 (i, j) 为右下角的子矩形数
以每个元素为右下角，向上逐行判断连续1的最小宽度，这个最小宽度即为该行能组成子矩形的最大宽度。累加即可得到该点贡献的子矩形数量。