688. 骑士在棋盘上的概率

最新推荐文章于 2025-12-15 12:46:33 发布

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骑士的概率问题：在棋盘上停留的概率

题目描述

给定一个 n x n 的国际象棋棋盘和一个骑士的起始位置 (row, column)，骑士尝试进行 k 次随机移动。每次移动，骑士从8种可能的方向中随机选择一个方向并进行移动。每次骑士的移动是向前两格，左右一个格，或者向前一格，左右两格。

如果骑士在某个时刻移动超出了棋盘边界，则它会离开棋盘，结束移动。我们需要返回骑士在经过 k 步之后仍然停留在棋盘上的概率。

关键要点：

题目中的棋盘大小为 n x n，从 (row, column) 位置开始。
骑士有 8 种可能的移动方式。
每次骑士的移动是随机的，可能会导致它离开棋盘。
我们需要计算骑士经过 k 步后仍在棋盘上的概率。

解题分析

这个问题属于概率问题，并且结合了动态规划的思想。为了准确计算骑士经过 k 步后依然在棋盘上的概率，我们可以模拟骑士的每一步移动，并使用动态规划来高效地跟踪每一位置的概率。由于骑士的移动是随机的，我们将考虑每个可能的移动路径，并计算出在每一步后骑士留在棋盘内的概率。

关键思路

状态表示：
我们使用三维动态规划数组 dp[step][r][c] 来表示在第 step 步时骑士位于 (r, c)</

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《python算法与数据结构2000讲》0688. 骑士在棋盘上的概率

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weixin_65198494的博客

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<think>嗯，用户问的是“在马踏棋盘这题如何使用”。首先，我需要确认用户的问题具体是什么。马踏棋盘应该是指国际象棋中的骑士周游问题（Knight's Tour），也就是在一个棋盘上，骑士从某个起点出发，能否走遍所有的格子，每个格子只走一次。这个问题通常用回溯算法或者启发式算法来解决，比如Warnsdorff规则。用户可能想知道如何用神经网络解决这个问题，或者是否可以使用神经网络来优化解法。不过，之前用户的问题是关于神经网络的介绍，现在接着问马踏棋盘问题如何使用，可能是在问如何应用神经网络来解决这个问题。但传统的解法并不涉及神经网络，所以用户可能对神经网络的应用场景有误解，或者想探索新的解决方法。需要先明确用户的需求。首先，我应该回顾传统的解决方法，然后考虑是否有神经网络的应用可能。传统上，回溯算法是暴力搜索，而Warnsdorff规则是启发式方法，优先选择下一步可能步数少的格子，减少回溯次数。但用户可能想知道有没有用神经网络的方法，比如用强化学习训练模型预测下一步，或者用图神经网络处理棋盘结构。需要分析神经网络在这个问题中的潜在应用。例如，可以将棋盘状态作为输入，输出下一步的位置，使用强化学习的奖励机制来训练模型完成整个周游。或者将问题转化为路径预测，使用循环神经网络（RNN）来生成路径序列。但可能效果不如传统算法高效，因为这个问题需要精确的路径规划，而神经网络可能在处理这类精确遍历问题时不够稳定。另外，用户可能是学生或者编程爱好者，试图解决算法题，但可能误以为神经网络是更高级的解决方案。需要解释传统方法，并说明神经网络的适用场景，可能用户对两者之间的区别不太清楚。需要以清晰的结构，分步骤介绍传统解法，再讨论神经网络的可能性，最后给出建议。可能还需要提供一个代码示例，比如回溯法的实现，或者简单提及神经网络方法的思路，但需要指出其优缺点。同时，注意使用中文，保持口语化，但结构清晰，帮助用户逐步理解问题。总结回答的结构：先解释问题，传统方法（回溯、启发式），然后讨论神经网络的应用可能性和挑战，最后建议适合的方法。这样用户既能了解传统解法，也能明白神经网络的局限性，避免走弯路。</think>--- ### **马踏棋盘问题（骑士周游问题）** **问题描述**：国际象棋中的“骑士”（马）从棋盘某一位置出发，能否不重复地走遍所有格子？ **核心目标**：找到一条路径（即“周游路径”），或判断是否存在可行解。 --- #### **1. 传统解法** ##### (1) **回溯算法（暴力搜索）** - **步骤**： 1. 从起点出发，按骑士的“日”字形走法（8种可能方向）尝试移动。 2. 标记已访问的格子，递归进入下一步。 3. 若无法继续且未覆盖所有格子，回溯到上一步，尝试其他方向。 - **缺点**：时间复杂度高（指数级），棋盘较大时效率极低。 ##### (2) **启发式优化（Warnsdorff规则）** - **核心思想**：优先选择**下一步可选方向最少**的格子，减少回溯概率。 - **优势**：显著降低搜索时间，尤其在较小棋盘（如8×8）中表现良好。 --- #### **2. 神经网络的应用可能性** 虽然传统算法更高效，但神经网络可通过以下思路尝试解决： ##### (1) **强化学习（Reinforcement Learning）** - **建模**： - **状态（State）**：当前棋盘已访问的格子位置。 - **动作（Action）**：骑士下一步的移动方向（8种选择）。 - **奖励（Reward）**：成功覆盖所有格子时给予高奖励，重复访问或无法移动时惩罚。 - **训练**：使用DQN（深度Q网络）等算法，让网络学习选择最优动作。 ##### (2) **序列生成（如RNN/Transformer）** - **输入**：棋盘当前状态（如矩阵表示）。 - **输出**：预测下一步的移动位置。 - **挑战**：路径需严格无重复，神经网络难以保证全局约束。 ##### (3) **图神经网络（GNN）** - **建模**：将棋盘视为图，每个格子为节点，骑士移动为边。 - **目标**：预测覆盖所有节点的哈密顿路径。 --- #### **3. 代码示例（回溯算法 + Warnsdorff规则）** ```python def knights_tour(n=8): # 初始化棋盘和移动方向（8种“日”字形走法） board = [[-1 for _ in range(n)] for _ in range(n)] moves = [(2,1), (1,2), (-1,2), (-2,1), (-2,-1), (-1,-2), (1,-2), (2,-1)] def is_valid(x, y): return 0 <= x < n and 0 <= y < n and board[x][y] == -1 def next_moves(x, y): # Warnsdorff规则：优先选择下一步可选方向最少的格子 valid = [] for dx, dy in moves: nx, ny = x + dx, y + dy if is_valid(nx, ny): count = 0 for ddx, ddy in moves: nnx, nny = nx + ddx, ny + ddy if is_valid(nnx, nny): count += 1 valid.append((count, nx, ny)) # 按下一步的可选方向数升序排序 return sorted(valid) def backtrack(x, y, step): board[x][y] = step if step == n*n - 1: return True for _, nx, ny in next_moves(x, y): if backtrack(nx, ny, step + 1): return True board[x][y] = -1 # 回溯 return False # 从(0,0)开始尝试 return backtrack(0, 0, 0) if backtrack(0, 0, 0) else False print(knights_tour()) # 输出True（8×8棋盘存在解） ``` --- #### **4. 神经网络 vs 传统算法的选择建议** - **推荐传统算法**： - 棋盘较小（如8×8）时，回溯+启发式规则已足够高效。 - 确定性高，结果可验证。 - **尝试神经网络的场景**： - 研究性质问题，探索新方法。 - 超大规模棋盘（需结合图神经网络与分布式计算）。 --- #### **5. 扩展思考** - **数学背景**：骑士周游问题与**哈密顿路径问题**密切相关（NP困难）。 - **优化方向**：结合传统算法与神经网络（如用网络预测回溯中的剪枝策略）。