本文详细探讨了POI2005年AKC-Special Forces Manoeuvres问题的解决方案，通过研究几何性质和随机化算法，提出了一种基于代表点的方法，来确定圆的交集是否为空。算法的时间复杂度为O(n^2)，并附有使用余弦定理和相似三角形解决两圆交集的参考程序。
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题目
题意简述
给定 n n n 个圆 ( x i , y i , r i ) (x_i,y_i,r_i) (xi,yi,ri)，每个圆对应一个点集 S i = { ( x , y ) ∣ ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 ≤ r i 2 } S_i=\left\{(x,y)\mid (x-x_i)^2+(y-y_i)^2\leq r_i^2\right\} Si={ (x,y)∣(x−xi)2+(y−yi)2≤ri2}。
求一个最小的 i i i 满足 ∩ j = 1 i S j = ∅ \cap_{j=1}^i S_j=\varnothing ∩j=1iSj=∅；如果无解输出 NIE。
题解
简单又自然的随机化
我们考虑枚举 i i i，然后判定 S 1 ∼ i S_{1\sim i} S1∼i 的交集是否为空。
如何判定呢？我们想到一个简单的方法，我们随机一些在圆的边界上的点，只需要判定这些点是否存至少在一个点在所有圆内即可。
这种方法简单又自然，但是随机化算法正确率不高，这远远不够。
研究几何性质
如果做计算几何题而抛弃几何性质，所得到的做法往往是劣解。
继续沿着上面的思路，我们同样考虑枚举 i i i，然后判定 S 1 ∼ i S_{1\sim i} S1∼i 的交集是否为空。
不同的是，我们定义一个交集中横坐标最大的点为代表点（代表点只会有一个，这是因为圆是凸集，凸集的交集还是凸集）。
我们发现，如果一些圆的交集非空，那么其代表点一定满足：它是所有圆两两交集的代表中横坐标最小的那个。
证明十分显然，考虑交集的意义即可。
最后的结论
综上所述，对于一个 i i i，我们只需要求出 1 ∼ i − 1 1\sim i-1 1∼i−1 与 i i i 的代表点即可，如果所有代表点中横坐标最小的那一个在所有的圆内，那么其合法，否则不合法，换言之，答案为 i i i。
我们考虑证明这个结论：
- 若没有交集，则这个点必然不合法，符合我们的预期；
- 若有交集，则我们需要证明这个点是交集的代表点。
- 假设其不是交集的代表点，则交集的代表点可能在其左右；
- 左边：不可能，若交集存在，则代表点的横坐标 ≥ \geq ≥ 当前点横坐标。
- 右边：不可能，考虑当前点在 S a ∩ S b S_a\cap S_b Sa∩Sb 中得到，那么所有 x ≥ x\geq x≥ 当前点横坐标的点均被交集抛弃，因此代表点的横坐标 ≤ \leq ≤ 当前点横坐标。
- 由夹逼过程可知结论正确。
这个算法的时间复杂度为 Θ ( n 2 ) \Theta(n^2) Θ(n2)。
参考程序
下面我们来解决两圆求交的问题。
下面介绍一下两种方法：余弦定理和相似三角形。
余弦定理
用余弦定理求解需要用到三角函数，常数大，精度差。
我们考虑下图：
对 △ A C B \triangle{ACB} △ACB 运用余弦定理，得到 r a 2 + d 2 − 2 d r a cos α = r b 2 r_a^2+d^2-2dr_a\cos\alpha=r_b^2 ra2</
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