51nod 1670：打怪兽 递推

1670 打怪兽

题目来源： 原创

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40  难度：4级算法题

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lyk在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。
游戏的规则是这样的。
lyk一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽，若lyk的能量值>=怪兽的能量值，那么怪兽将会被打败，lyk的能量值增加1，否则lyk死亡，游戏结束。
若怪兽全部打完，游戏也将会结束。
共有n个怪兽，由于lyk比较弱，它一开始只有0点能量值。
n个怪兽排列随机，也就是说共有n!种可能，lyk想知道结束时它能量值的期望。
由于小数点比较麻烦，所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了！

例如有两个怪兽，能量值分别为{0,1}，那么答案为2，因为游戏结束时有两种可能，lyk的能量值分别为0和2。期望为1,1*2!=2，所以答案为2。

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
接下来一行n个数ai表示怪兽的能量(0<=ai<n)。

Output

一行表示答案

Input示例

2
0 1

Output示例

2

官方题解：本题的关键点是发现如果我能在第i轮打败怪物j，那么我一定能在第i+1轮打败怪物j(前提是我还活着)。

因此我们可以通过递推来做这题。
令dp[i]表示第i轮我仍然存活时的方案综述，这里lyk的能量也必然为i。
显然dp[0]=n!。因为不管怎么排列，第0轮总是能存活的。
找到那些可以打败的怪物数量x，其中这些怪物已经被打败i个。
此时第i+1轮我仍然能存活的概率为(x-i)/(n-i)，只要将这个概率乘上dp[i]就能知道dp[i+1]的值。
这里除法可以用逆元来处理。时间复杂度为线性。

搞得时候净往组合数学方面去想了。但其实这个是因为前一轮存活 然后后一轮依然存活，很明显的递推。搞清楚了每一轮有多少种情况存活，题目也就简单了。

代码：

#pragma warning(disable:4996)
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;

#define INF 0x3fffffff
typedef long long ll;

const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 100005;

int n;
ll dp[maxn];
int app[maxn];

void init()
{
	int i;
	ll res = 1;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		res = (res*i) % mod;
	}
	dp[0] = res;
}

ll exp_mod(ll a, ll b)
{
	ll res = 1;
	while (b != 0)
	{
		if (b & 1)
			res = (res * a) % mod;
		a = (a*a) % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

void input()
{
	int i, temp;
	scanf("%d", &n);

	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &temp);
		app[temp]++;
	}
}

void solve()
{
	int i;
	ll res = 0;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		app[i] = app[i] + app[i - 1];
	}
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		//已经击败i个
		ll t = exp_mod(n - i, mod - 2) % mod;//求逆元
		dp[i + 1] = ((dp[i] * (app[i] - i)) % mod)*t % mod;
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		ll s = (dp[i - 1] - dp[i] + mod) % mod;//在第i轮被击败的情况
		res = (res + s*(i - 1) % mod) % mod;
	}
	res = (res + (dp[n] * n)%mod) % mod;
	cout << res;
}

int main()
{
	//freopen("i.txt","r",stdin);
	//freopen("o.txt","w",stdout);
	
	input();
	init();
	solve();

	//system("pause");
	return 0;
}