剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

最新推荐文章于 2023-10-04 00:27:22 发布

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本文详细讲解了如何用C++和Python实现斐波那契数列的递归、动态规划以及利用矩阵快速幂优化的方法，并展示了代码实例。重点介绍了矩阵快速幂在解决斐波那契数列问题中的高效应用。

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剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

限制：

0 <= n <= 100

方法一：根据斐波那契数列的定义递归

C++版本

class Solution {
public:
    constexpr static int MOD = 1e9 + 7;
    int fib(int n) {
        int a = 0 , b = 1, c = 0;
        if(n == 0) return a;
        else if(n == 1) return b;
        else {
            for(int i = 2; i <= n; i++){
                c = (a + b) % MOD;
                a = b;
                b = c;
            }
        }
        return c;
    }
};

Python版本

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        a,b,c = 0,1,0
        if n == 0:
            return a
        elif n == 1:
            return b
        else:
            for i in range(2,n + 1):
                c = (a + b) % (10 ** 9 + 7)
                a = b
                b = c
        return c

方法二：动态规划

const int N = 105;
const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        int dp[N];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2]) % MOD;
        }
        return dp[n];
    }
};

方法三：动态规划 + 滚动数组
- 滚动数组思想： dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]，每一个数都只和它的前两个状态有关，所以实际上只需要开一个大小为3的数组，通过不断的迭代，只保留与当前决策有用的状态，而之前的无用信息全部舍去。

const int MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        int dp[3];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[2] = (dp[1] + dp[0]) % MOD;
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = dp[2];
        }
        return dp[2];
    }
};

方法四：矩阵快速幂

$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_0&0\\ F_1&0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_1&0\\ F_0 + F_1&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{matrix} \\ F_0 + F_1 = F_2 \end{matrix}$

$\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&1\\ \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} F_0&0\\ F_1&0\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_{n-1}&0\\ F_{n-2} + F_{n-1}&0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{matrix} \\ F_{n-1} + F_{n-2} = F_n \\ \end{matrix}$

如上的递推的矩阵可知，只需要计算矩阵的n次幂即可得到数列的第n项，因此问题转换为矩阵的n次幂。

const int M = 2;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9 + 7;
struct Ma{
    LL a[M][M];
    Ma(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void Unit(){
        a[0][0] = a[1][1] = 1;
        a[0][1] = a[1][0] = 0;
    }
    Ma operator*(const Ma& C) const{
        Ma res;
        for(int i = 0; i < M; i++){
            for(int j = 0; j < M;j++){
                for(int k = 0; k< M; k++){
                    res.a[i][j] += (a[i][k] * C.a[k][j]) % MOD;
                    res.a[i][j] %= MOD;
                }
            }
        }
        return res;
    }
    Ma operator^(int n) const{
        Ma res; res.Unit(); //res设置为单位矩阵
        Ma A = *this;
        while(n){
            if(n&0x1) res = res*A;
            A=A*A;
            n >>= 1;
        }
        return res;
    }
};
class Solution {
public:
	int fib(int n) {
		Ma A;
	    A.a[0][0] = 0;
	    A.a[0][1] = A.a[1][0] = A.a[1][1] = 1;
	    Ma F;
	    F.a[0][0] = 0;
        F.a[1][0] = 1;
        F.a[0][1] = F.a[1][1] = 0;
	    Ma res = (A^n)*F;
	    return res.a[0][0];
	}
};