数论基础素数筛法(埃氏筛法/线性筛法)

最新推荐文章于 2024-12-26 07:30:00 发布

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本文介绍埃氏筛法与线性筛法两种高效寻找素数的方法，并通过实例展示如何使用线性筛法解决区间内素数计数问题。文章详细解释了两种筛法的具体实现及优化技巧。

埃氏筛法

（1）埃氏筛法的思想：对于不超过N的素数a，筛掉2a,3a,4a… 当筛完所有的数之后，没有被筛掉的数就都是素数。
（2）时间复杂度:O(nloglogn)

const int N = 1e6 + 5;
int prime[N]; 
bool is_prime[N]; //is_prime[i]为true时表示i是素数
int cnt = 0; //素数的个数

void Init(int n) 
{
	memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
	is_prime[0] = is_prime[1] = false; // 0和1不是素数
	    for (int i = 2; i <= n; i++) {
	        if (is_prime[i]) {
				prime[cnt++] = i;
		    for (int j = i + i; j <= n; j += i) 
				is_prime[j] = false;  //筛去所有素数的倍数
		}
		
	}
}

埃氏筛法无法避免重复地筛一些数，比如说30=2 * 15=3 * 10=5 * 6，所以为了避免重复筛，我们有线性筛法

线性筛法（让每个合数只被它最小的质因子筛选）

const int N = 1e6 + 5;
int prime[N];
bool vis[N];
void Euler(int n)
{
	int cnt = 0;
	memset(prime, 0, sizeof(prime));
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	for (int t = 2; t <= n; t++)
	{
		if (!vis[t]) prime[cnt++] = t;
		for (int j = 0; j<cnt&&t*prime[j] <= n; j++)
		{
			vis[t*prime[j]] = true;
			if (t%prime[j] == 0) break; //key point
		}
	}
}

题目描述

给定 l, r，求区间 [l,r] 内质数的个数。

输入格式：
第一行有两个整数，分别代表询问次数 n 和给定区间的右端点最大值 m。
接下来 n 行，每行两个整数 l, r，代表一次查询。

输出格式：
对于每次查询输出一行，若 l,r∈[1,m]，则输出区间质数个数，否则输出 Crossing the line。

输入样例#1：
2 5
1 3
2 6

输出样例#1：
2
Crossing the line

//线性筛法
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;
int prime[N];
bool vis[N];
int sum[N];//前缀和
int n, m, l, r;

void Euler(){
	int cnt = 0;
	memset(prime, 0, sizeof(prime));
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	vis[0] = vis[1] = true; //0和1都不是素数
	for (int t = 2; t <= m; t++)
	{
		if (!vis[t]) prime[cnt++] = t;	
		for (int j = 0; j<cnt&&t*prime[j] <= m; j++)
		{
			vis[t*prime[j]] = true;
			if (t%prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

//处理前缀和
void Init() {
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		sum[i] = sum[i - 1] + !vis[i];
	}
}
int main() {

	cin >> n >> m;
	Euler();
	Init();
	while (n--) {
		cin >> l >> r;
		if (r > m||l < 1) {
			cout << "Crossing the line" << endl;
		}
		else {
			cout << sum[r] - sum[l - 1] << endl;
		}
	}

	return 0;
}