树状数组小结

树状数组可以以$logn$的复杂度完成更新与查询。一个很基本的操作就是可以单点修改，然后区间求和或区间求最大/最小值。

最近做了几道有关树状数组的题，发现了其还有一种用法。

若一个序列需要维护两种条件，那么可以先将一种条件排序，另一种条件用树状数组维护。

例如，令序列的前缀和为pre，要查询序列中满足pre[i] > pre[j]&& i>j的对数。
暴力枚举l,r的话时间复杂度是$O(n^2)$。

这里出现了两个条件:pre[i] > pre[j]&& i>j，条件二序列本身就具备。现在考虑维护条件一。

1. 首先求出序列的所有前缀和，并将其离散化之后排序。便于以后二分查找。
2. 根据条件二所形成的序列从左到右遍历序列，当遍历到第i个数时，找到二分查找pre[i]所处的位置，此位置也是其在树状数组上面的位置。
3. 因为是按照条件二的顺序遍历的，所以出现在此时出现在树状数组上的pre值肯定都满足i > j，同时根据步骤1所查找到的pre[i]位置，在此位置之前的数全部都小于pre[i]，所以只需花$O(logn)$的时间统计其前缀和即可。
4. 统计完之后将pre[i]的权值也加入到树状数组中，给后面的数使用。

总的时间复杂度是$O(nlogn)$。

例题BZOJ2131。
例题: https://blog.youkuaiyun.com/Link_Ray/article/details/88543631

其实几乎都可以抽象成这种问题，比如第二个例题，可以抽象成在i > j && i∈[l,r], j∈i∈[l,r]。只不过这题维护和查询较繁琐。

例题:

以Y为树状数组的轴，在上面更新X。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR0(a,b) for(int i = a; i < b; ++i)
#define FORE(a,b) for(int i = a; i <= b; ++i)
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

const int maxn = 5e5+5;

int sum[maxn<<2];

void pushup(int rt) {
	sum[rt] = sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt) {
	if(l == r) {
		sum[rt] = 1;
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	build(lson);
	build(rson);
	pushup(rt);
}

void update(int o, int l, int r,int rt) {
	if(l == r) {
		sum[rt]--;
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	if(mid >= o) update(o, lson);
	else update(o, rson);
	pushup(rt);
}
void query(int& ans, int o, int l, int r, int rt) {
	if(l == r) {
		ans = r;
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	if(sum[rt<<1] >= o) query(ans, o, lson);
	else query(ans,o-sum[rt<<1], rson);
}
inline int read()
{
    int k=0;
    char f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar() )
        if(c=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar() )
        k=k*10+c-'0';
    return k*f;
}
inline void write(int x)
{
     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
     if(x>9) write(x/10);
     putchar(x%10+'0');
}
int a[maxn],ans[maxn];
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	build(1,n,1);
	a[0] = 0;
	for(int i = 1; i < n; ++i)
		a[i] = read();
	for(int i = n-1; i >= 0; --i) {
		a[i]++;
		int v = 1;
		query(v,a[i],1,n,1);
		ans[i] = v;
		update(v,1,n,1);
	}
	for(int i = 0; i < n; ++i,puts("")) write(ans[i]);
	return 0;
}