数据结构----主席树

这两天一直在看各种树~划分树，左偏树，主席树，伸展树~~~好乱~~

一听到主席树这个名字的时候感觉好奇怪，为什么会叫主席树，感觉好难好高大上，所以一直敬而远之，，，，，主席树是一个大牛的拼音缩写HJT（hu jingtao），额~~大牛就是厉害！！！

昨晚上bili发现了一个主席树视频，突然感觉好开心，终于有教程了，哈哈哈~~~发现up主还上传了其他 的算法教程，，，，于是叫注册了bili账号还百度通过了正式会员~~

哈哈~~本来以为b站考试很难，，的确很难（因为之前听朋友说她好艰难才通过、的），但是有百度这种东西~~今天看了up主关于主席树的讲解，虽然明白主席树的什么，但是要手动实现就不会了，看了up的代码好久才渐渐明白，up主的代码好短而已，但是技巧之类的好多，特别是到递归，我觉得递归真的好恶心，因为很难捕捉一下就跳到哪里去了，特别是带返回值的。。。。。后来又看了kuangbin的代码，自己又写了一遍，但是Kuangbin的不是递归写的，而我改成了递归的，不知为什么感觉有点成就感，哈哈~至少对代码的理解又加深了一点点。，，好怕过两天就忘的一干二净了，。。

进入正题：

up主连接：主席树       （一开始是通过up的视频学的）

下面是摘抄其他人的：

主席树的主体是线段树，准确的说，是很多棵线段树，存的是一段数字区间出现次数（所以要先离散化可能出现的数字）。举个例子，假设我每次都要求整个序列内的第 k 小，那么对整个序列构造一个线段树，然后在线段树上不断找第 k 小在当前数字区间的左半部分还是右半部分。这个操作和平衡树的 Rank 操作一样，只是这里将离散的数字搞成了连续的数字。

先假设没有修改操作：

对于每个前缀 S1…i，保存这样一个线段树 Ti，组成主席树。这样不是会 MLE 么？最后再讲。

注意，这个线段树对一条线段，保存的是这个数字区间的出现次数，所以是可以互相加减的！还有，由于每棵线段树都要保存同样的数字，所以它们的大小、形态也都是一样的！这实在是两个非常好的性质，是平衡树所不具备的。

对于询问 (i,j)，我只要拿出 Tj 和 Ti-1，对每个节点相减就可以了。说的通俗一点，询问 i..j 区间中，一个数字区间的出现次数时，就是这些数字在 Tj 中出现的次数减去在 Ti-1 中出现的次数。

那么有修改操作怎么办呢？

如果将询问看成求一段序列的数字和，那么上面那个相当于求出了前缀和。加入修改操作后，就要用树状数组等来维护前缀和了。于是那个 “很好的性质” 又一次发挥了作用，由于主席树可以互相加减，所以可以用树状数组来套上它。做法和维护前缀和长得基本一样，不说了。

这段指出了主席树的主要性质。。

• 线段树的每个结点，保存的是这个区间含有的数字的个数。
• 主席树的每个结点，也就是每颗线段树的大小和形态也是一样的，也就是主席树之间可以相互进行加减运算。。

同时我们也枚举一下主席树的一些局限：

• 主席树是一种离线结构。。（必须预先知道所有数字的范围。。这在一些应用中会成为障碍。。。
• 存在 MLE 问题。。（如果按照定义里面的方法去写，对每个结点都需要开一整可线段树，至少都是 O(n2) 级别的空间。。

——————————————————
开始填坑。由于每棵线段树的大小形态都是一样的，而且初始值全都是 0，那每个线段树都初始化不是太浪费了？所以一开始只要建一棵空树即可。

然后是在某棵树上修改一个数字，由于和其他树相关联，所以不能在原来的树上改，必须弄个新的出来。难道要弄一棵新树？不是的，由于一个数字的更改只影响了一条从这个叶子节点到根的路径，所以只要只有这条路径是新的，另外都没有改变。比如对于某个节点，要往右边走，那么左边那些就不用新建，只要用个指针链到原树的此节点左边就可以了，这个步骤的前提也是线段树的形态一样。

假设s是数字个数，这个步骤的空间复杂度显然是 O(logs)。用树状数组去套它，共有 2logn 棵树被修改，m 个操作再加上一开始的空树和 n 个数字，总共就是 O((n+m)lognlogs)。Fotile 大神说如果加上垃圾回收的话，可以去掉一个 log…… ym

poj 2104 k-th number

这题也可以用划分树（见上一篇）

代码1：up主  代码2： kuangbin修改版     代码3：kuangbin

版本1

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e5+6;
int n,m,cnt=0,root[maxn],a[maxn],x,y,k;
struct node{
	int l,r,sum;
}T[maxn*40];
vector<int>v;

int getid(int x)  {
	return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;
}

void update(int l,int r,int &x,int y,int pos){
	T[++cnt]=T[y],T[cnt].sum++,x=cnt;
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)/2;
	if(mid>=pos) update(l,mid,T[x].l,T[y].l,pos);
	else update(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,pos);
}

int query(int l,int r,int x,int y,int k){
	if(l==r) return l;
	int mid=(l+r)/2;
	int sum=T[T[y].l].sum-T[T[x].l].sum;
	if(sum>=k) return query(l,mid,T[x].l,T[y].l,k);
	else return query(mid+1,r,T[x].r,T[y].r,k-sum);
}
int main() {

    #ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);
	sort(v.begin(),v.end());
	/*unique只是把重复的元素放到容器的后面，而它本身会返回一个迭代器，
	只向这些元素的开始部分。因此要向真正删除这些元素，
	还是要“手工”处理一下。可以用vector的erase*/
	v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());       //去重
	for(int i=1;i<=n;i++) update(1,n,root[i],root[i-1],getid(a[i]));
	//for(int i=0;i<=n;i++) cout<<root[i]<<" ";
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
		printf("%d\n",v[query(1,n,root[x-1],root[y],k)-1]);
	} 
	
}                        

版本2

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
const int N=maxn*30;
int n,q,m,tot;
int a[maxn],t[maxn];
int T[N],ls[N],rs[N],c[N];

void init()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	t[i]=a[i];
	sort(t+1,t+n+1);
	/*
	在STL中unique函数是一个去重函数， unique的功能是去除相邻的重复元素(只保留一个),
	其实它并不真正把重复的元素删除，是把重复的元素移到后面去了，
	然后依然保存到了原数组中，然后 返回去重后最后一个元素的地址,去重后最后一个元素的下一个地址 
	因为unique去除的是相邻的重复元素，所以一般用之前都会要排一下序。
	*/
	m=unique(t+1,t+n+1)-t-1;
}

int build(int l,int r)
{
	int root=tot++;
	c[root]=0;
	if(l!=r)
	{
		int mid=(l+r)/2;
		ls[root]=build(l,mid);
		rs[root]=build(mid+1,r);
	}
	return root;
}

int hash(int x)
{
	return lower_bound(t+1,t+1+m,x)-t;   //返回下标 
} 

int update(int root,int pos,int val,int l,int r)
{
	int newroot=tot++,tmp=newroot;
	c[newroot]=c[root]+val;
	if(l==r) return 1;
	int mid=(l+r)/2;
	if(pos<=mid)
	{
		ls[newroot]=tot;rs[newroot]=rs[root];
		update(ls[root],pos,val,l,mid);
	}
	else
	{
		rs[newroot]=tot;ls[newroot]=ls[root];
		update(rs[root],pos,val,mid+1,r);
	}
	return tmp;
} 

int query(int l,int r,int x,int y,int k)
{
	int mid=(l+r)/2;
	if(l==r) return l;
	int sum=c[ls[y]]-c[ls[x]];
	if(sum>=k)
	{
		query(l,mid,ls[x],ls[y],k);
	}
	else
	query(mid+1,r,rs[x],rs[y],k-sum);
}
int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&q);
    tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    init();
    T[n+1]=build(1,m);
    //cout<<T[0]<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int pos=hash(a[i]);
    	T[i]=update(T[i-1],pos,1,1,m);
    	//cout<<T[i]<<" ";
	}
	//cout<<endl;
	while(q--)
	{
		int l,r,k;
	    scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
	    printf("%d\n",t[query(1,m,T[l-1],T[r],k)]);
	 } 
    
     
}

版本3

/* ***********************************************
Author        :kuangbin
Created Time  :2013-9-4 20:13:20
File Name     :POJ2104.cpp
************************************************ */

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100010;
const int M = MAXN * 30;
int n,q,m,tot;
int a[MAXN], t[MAXN];
int T[M], lson[M], rson[M], c[M];

void Init_hash()
{
    for(int i = 1; i <= n;i++)
        t[i] = a[i];
    sort(t+1,t+1+n);
    m = unique(t+1,t+1+n)-t-1;
}
int build(int l,int r)
{
    int root = tot++;
    c[root] = 0;
    if(l != r)
    {
        int mid = (l+r)>>1;
        lson[root] = build(l,mid);
        rson[root] = build(mid+1,r);
    }
    return root;
}
int hash(int x)
{
    return lower_bound(t+1,t+1+m,x) - t;
}
int update(int root,int pos,int val)
{
    int newroot = tot++, tmp = newroot;
    c[newroot] = c[root] + val;
    int l = 1, r = m;
    while(l < r)
    {
        int mid = (l+r)>>1;
        if(pos <= mid)
        {
            lson[newroot] = tot++; rson[newroot] = rson[root];
            newroot = lson[newroot]; root = lson[root];
            r = mid;
        }
        else
        {
            rson[newroot] = tot++; lson[newroot] = lson[root];
            newroot = rson[newroot]; root = rson[root];
            l = mid+1;
        }
        c[newroot] = c[root] + val;
    }
    return tmp;
}
int query(int left_root,int right_root,int k)
{
    int l = 1, r = m;
    while( l < r)
    {
        int mid = (l+r)>>1;
        if(c[lson[left_root]]-c[lson[right_root]] >= k )
        {
            r = mid;
            left_root = lson[left_root];
            right_root = lson[right_root];
        }
        else
        {
            l = mid + 1;
            k -= c[lson[left_root]] - c[lson[right_root]];
            left_root = rson[left_root];
            right_root = rson[right_root];
        }
    }
    return l;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    while(scanf("%d%d",&n,&q) == 2)
    {
        tot = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        Init_hash();
        T[n+1] = build(1,m);
        for(int i = n;i ;i--)
        {
            int pos = hash(a[i]);
            T[i] = update(T[i+1],pos,1);
        }
        while(q--)
        {
            int l,r,k;
            scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
            printf("%d\n",t[query(T[l],T[r+1],k)]);
        }
    }
    return 0;
}

这题的无修改查询的，有修改查询的需要套树状数组，见下一篇

连接：

主席树 | | 可持久化线段树 - L__J

个人对主席树算法的理解