伸展树SPlay tree
只要理解了AVL的旋转过程，伸展树基本就能够明白的了，伸展树有个神奇之处在于把访问的节点旋转至根节点，可以实现区间删除，寻找前驱后驱等等。。。感觉伸展树比那些主席树，划分树作用更大似的，因为我能够知道用伸展树来干嘛，而其他数除了求第K大的值之外不知拿来干嘛，说到底还是做题太少，见识太少。，。需要好好熟悉理解Splay的代码。。。。。大牛都说简单，然而让我自己默写都写不出来QAQ
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参考链接：
数据结构之伸展树
HNOI2002]营业额统计 Splay tree
参考论文：
1） 杨思雨《伸展树的基本操作与应用》
（2） Crash《运用伸展树解决数列维护问题》
首先要理解旋转方式：一共有六种，镜像3种，其实就是理解3种就能够明白了。（zig 右旋 zag 左旋）
x 目标结点
y x的父结点
z y的父结点
1. 当y为根结点，进行一次zig或zag
2 y不是根结点，当x,y同时是各自父结点的左子树或右子树，进行两次zig或zag （可以自顶向下，也可以自底向上）
3 y不是根结点，当x,y其中一个是父结点的左子树，另一个是右子树，进行一次zag，一次zig
代码中的旋转函数比较难理解，需要会画图就容易理解了，记住需要左旋的图和右旋的图，
代码中的示例图：
① 为代码中的ch[y][!kind]=ch[x][kind]; ②pre[ch[x][kind]]=y; （当kind=0的情况，kind=1类似）
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1、Splay 概述
二叉查找树（Binary Search Tree，也叫二叉排序树，即Binary Sort Tree）能够支持多种动态集合操作，它可以用来表示有序集合、建立索引等，因而在实际应用中，二叉排序树是一种非常重要的数据结构。
从算法复杂度角度考虑，我们知道，作用于二叉查找树上的基本操作（如查找，插入等）的时间复杂度与树的高度成正比。对一个含n个节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果因为频繁的删除和插入操作，导致树退化成一个n个节点的线性链（此时即为一个单链表），则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。为了克服以上缺点，很多二叉查找树的变形出现了，如红黑树、AVL树，Treap树等。
本文介绍了二叉查找树的一种改进数据结构–伸展树（Splay Tree）。它的主要特点是不会保证树一直是平衡的，但各种操作的平摊时间复杂度是O(log n)，因而，从平摊复杂度上看，二叉查找树也是一种平衡二叉树。另外，相比于其他树状数据结构（如红黑树，AVL树等），伸展树的空间要求与编程复杂度要小得多。
2、 基本操作
伸展树的出发点是这样的：考虑到局部性原理（刚被访问的内容下次可能仍会被访问，查找次数多的内容可能下一次会被访问），为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些节点应当经常处于靠近树根的位置。这样，很容易得想到以下这个方案：每次查找节点之后对树进行重构，把被查找的节点搬移到树根，这种自调整形式的二叉查找树就是伸展树。每次对伸展树进行操作后，它均会通过旋转的方法把被访问节点旋转到树根的位置。
为了将当前被访问节点旋转到树根，我们通常将节点自底向上旋转，直至该节点成为树根为止。“旋转”的巧妙之处就是在不打乱数列中数据大小关系（指中序遍历结果是全序的）情况下，所有基本操作的平摊复杂度仍为O（log n）。
伸展树主要有三种旋转操作，分别为单旋转，一字形旋转和之字形旋转。为了便于解释，我们假设当前被访问节点为X，X的父亲节点为Y（如果X的父亲节点存在），X的祖父节点为Z（如果X的祖父节点存在）。
（1） 单旋转
节点X的父节点Y是根节点。这时，如果X是Y的左孩子，我们进行一次右旋操作；如果X 是Y 的右孩子，则我们进行一次左旋操作。经过旋转，X成为二叉查找树T的根节点，调整结束。
（2） 一字型旋转
节点X 的父节点Y不是根节点，Y 的父节点为Z，且X与Y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次左左旋转操作或者右右旋转操作。
（3） 之字形旋转
节点X的父节点Y不是根节点，Y的父节点为Z，X与Y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次左右旋转操作或者右左旋转操作。
3、伸展树区间操作
在实际应用中，伸展树的中序遍历即为我们维护的数列，这就引出一个问题，怎么在伸展树中表示某个区间？比如我们要提取区间[a,b]，那么我们将a前面一个数对应的结点转到树根，将b 后面一个结点对应的结点转到树根的右边，那么根右边的左子树就对应了区间[a,b]。原因很简单，将a 前面一个数对应的结点转到树根后， a 及a 后面的数就在根的右子树上，然后又将b后面一个结点对应的结点转到树根的右边，那么[a,b]这个区间就是下图中B所示的子树。
利用区间操作我们可以实现线段树的一些功能，比如回答对区间的询问（最大值，最小值等）。具体可以这样实现，在每个结点记录关于以这个结点为根的子树的信息，然后询问时先提取区间，再直接读取子树的相关信息。还可以对区间进行整体修改，这也要用到与线段树类似的延迟标记技术，即对于每个结点，额外记录一个或多个标记，表示以这个结点为根的子树是否被进行了某种操作，并且这种操作影响其子结点的信息值，当进行旋转和其他一些操作时相应地将标记向下传递。
与线段树相比，伸展树功能更强大，它能解决以下两个线段树不能解决的问题：
（1） 在a后面插入一些数。方法是：首先利用要插入的数构造一棵伸展树，接着，将a 转到根，并将a 后面一个数对应的结点转到根结点的右边，最后将这棵新的子树挂到根右子结点的左子结点上。
（2） 删除区间[a,b]内的数。首先提取[a,b]区间，直接删除即可。
5、 应用
（1） 数列维护问题
题目：维护一个数列，支持以下几种操作：
1. 插入：在当前数列第posi 个数字后面插入tot 个数字；若在数列首位插入，则posi 为0。
2. 删除：从当前数列第posi 个数字开始连续删除tot 个数字。
3. 修改：从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字统一修改为c 。
4. 翻转：取出从当前数列第posi 个数字开始的tot 个数字，翻转后放入原来的位置。
5. 求和：计算从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字的和并输出。
6. 求和最大子序列：求出当前数列中和最大的一段子序列，并输出最大和。
（2） 轻量级web服务器lighttpd中用到数据结构splay tree.
例题：
[HNOI2002]营业额统计
[HNOI2002]营业额统计
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Description
Input
Output
Sample Input
5
1
2
5
4
6
Sample Output
HINT
结果说明：5+|1-5|+|2-1|+|5-5|+|4-5|+|6-5|=5+4+1+0+1+1=12
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
using namespace std;
#define N 100005
#define inf 1<<29
int pre[N],key[N],ch[N][2],root,tot1; //分别表示父结点，键值，左右孩子(0为左孩子，1为右孩子),根结点，结点数量
int n;
//新建一个结点
void newNode(int &r,int father,int k)
{
r=++tot1;
pre[r]=father;
key[r]=k;
ch[r][0]=ch[r][1]=0; //左右孩子为空
}
//旋转，kind为1为右旋，kind为0为左旋
/*
这里一开始很难明白，感觉很乱，但是其实这里就是旋转的过程，画图就比较容易理解了
kind一开始会有些乱，特别是kind即代表旋转方向又表示左右节点，放在一起很乱
但这就是大牛的厉害之处吧，简洁，但是熟悉明白还需要一段时间
*/
void Rotate(int x,int kind)
{
int y=pre[x];
//类似SBT，要把其中一个分支先给父节点
ch[y][!kind]=ch[x][kind];
pre[ch[x][kind]]=y;
//如果父节点不是根结点，则要和父节点的父节点连接起来
if(pre[y])
ch[pre[y]][ch[pre[y]][1]==y]=x;
pre[x]=pre[y];
ch[x][kind]=y;
pre[y]=x;
}
//Splay调整，将根为r的子树调整为goal
void Splay(int r,int goal)
{
while(pre[r]!=goal)
{
//父节点即是目标位置，goal为0表示，父节点就是根结点
if(pre[pre[r]]==goal)
Rotate(r,ch[pre[r]][0]==r);
else
{
int y=pre[r];
int kind=ch[pre[y]][0]==y;
//两个方向不同，则先左旋再右旋
if(ch[y][kind]==r)
{
Rotate(r,!kind);
Rotate(r,kind);
}
//两个方向相同，相同方向连续两次
else
{
Rotate(y,kind);
Rotate(r,kind);
}
}
}
//更新根结点
if(goal==0) root=r;
}
int Insert(int k)
{
int r=root;
while(ch[r][key[r]<k])
{
//不重复插入，这里应该是相对于这道题来讲的吧，相同值无需再插入
if(key[r]==k){
Splay(r,0);
return 0;
}
r=ch[r][key[r]<k];
}
newNode(ch[r][key[r]<k],r,k);
//将新插入的结点更新至根结点
Splay(ch[r][key[r]<k],0);
return 1;
}
//找前驱，即左子树的最右结点
int get_pre(int x)
{
int tmp=ch[x][0];
if(tmp==0) return inf;
while(ch[tmp][1])
tmp=ch[tmp][1];
return key[x]-key[tmp];
}
//找后继，即右子树的最左结点
int get_next(int x)
{
int tmp=ch[x][1];
if(tmp==0) return inf;
while(ch[tmp][0])
tmp=ch[tmp][0];
return key[tmp]-key[x];
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
while(~scanf("%d",&n))
{
root=tot1=0;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int num;
//scanf("%d",&num);
//一开始数据有bug，所以这样写才能过，不过bug 改回来了
//把这里改成一般输入scanf("%d",&num)也可以过
if(scanf("%d",&num)==EOF) num=0; //读到文件结尾
if(i==1)
{
ans+=num;
newNode(root,0,num);
continue;
}
if(Insert(num)==0) continue;
int a=get_pre(root);
int b=get_next(root);
ans+=min(a,b);
}
printf("%d\n",ans);
}
}
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