【洛谷题解】P2015 二叉苹果树

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2015
难度：普及+/提高
涉及知识点：树形DP

题意

给定一棵有 $n$ 个节点的苹果树，对于一条连接 $a$ 和 $b$ 的树枝上有 $c$ 个苹果。要求剪去其中的一些树枝，最后留下 $m$ 条树枝。求剪枝后最多能保留多少个苹果。

分析与解决

由“最多可保留多少苹果”，我们可以推断该题应使用动态规划求最大值。设状态为 $f[u][j]$，表示以 $u$ 为根的树保留 $j$ 条树枝后，最多可以留住的苹果数量。

将一个节点连向的各个子节点看做若干个物品组，这样问题就被转化为了分组背包问题。第一层循环物品组（也就是子节点），第二层循环体积，最大为 $m$，最小为 0，第三层循环保留的树枝个数（即决策）。

如果以 $u$ 为根的子树内保留了 $k$ 根树枝（不包含 $u$ 与其子树节点 $v$ 相连的边），那么就用 $f[u][j-k-1]+f[v][k]+w[u->v]$ 即可。为什么是 $j-k-1$ 呢？因为我们必须保留到根节点的那一条，换句话说，你想要在这棵子树内保留边，你就必须保留 $u->v$ 的边。

最后得到状态转移方程为：
f [ u ] [ j ] = m a x { f [ u ] [ j − k − 1 ] + f [ v ] [ k ] + w [ i ] } f[u][j]=max\left\{f[u][j-k-1]+f[v][k]+w[i]\right\} f[u][j]=max{f[u][j−k−1]+f[v][k]+w[i]}

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 2 * N;

//f[i][j]表示以i为根的子树保留j根树枝，留住了多少苹果 

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int f[N][N];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

void dfs(int u, int father)
{
	for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
	{
		if (e[i] == father) continue;
		dfs(e[i], u);
		
		for (int j = m; j >= 0; j--)
		{
			for (int k = 0; k < j; k++)
			{
				f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - 1 - k] + f[e[i]][k] + w[i]);
			}
		} 
	}
} 

int main()
{
    cin >> n >> m;
	memset(h, -1, sizeof h);
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a, b, c);
		add(b, a, c);
	}
	
	
	dfs(1, -1);
	
	cout << f[1][m] << endl;
	
	return 0;
}