【AcWing题解】AcWing 272. 最长公共上升子序列

最新推荐文章于 2025-11-25 00:06:26 发布

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#算法 #c++ #动态规划

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本文介绍了如何使用动态规划方法求解两个序列的最长公共上升子序列问题。通过闫氏DP分析法，对状态进行划分并优化算法，最终实现高效求解。代码展示了一种优化后的解决方案，通过遍历序列并更新状态数组，找到最长公共上升子序列的长度。

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/274/
难度：中等
知识点：LIS,LCS,DP

题意分析

给定序列 $A, B$ ，求出这两个序列的最长公共上升子序列。

分析与解决

采用闫氏DP分析法进行分析。
状态表示上，明确集合的含义为包含 $A$ 序列前 $i$ 个数和 $B$ 序列前 $j$ 个数，并且是以 $b [j]$ 结尾的公共上升序列，属性为 $M a x$ 。
状态划分上，首先将所有状态划分为包含第 $i$ 个字母的集合和不包含第 $i$ 个字母的集合，分别表示为 $f [i] [j]$ 和 $f [i - 1] [j]$ 。不包含第 $i$ 个字母的集合中最大的长度就是 $f [i - 1] [j]$ 。对于包含第 $i$ 个字母的集合我们进一步进行划分，划分依据是子序列的倒数第二个元素的值，如果子序列中只有 $b [j]$ 一个数，那么长度就为1，而对于一个子序列中倒数第二个数是 $b [j - 1]$ 的情况，最大长度就为 $f [i - 1] [j - 1] + 1$ ，我们用一个变量 $ma xv$ 记录。如果按照上述思路进行暴力求解，则需要三重循环，如下图：

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	for (int j = 1; j <= n; j++)
	{
		f[i][j] = f[i - 1][j];
		if (a[i] == b[j])
		{
			int maxv = 1;
			for (int k = 1; k < j; k++)
			{
				if (a[i] > b[k]) maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
			}
			f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
		}
	}
}

不难发现，这种做法的本质是在公共子序列中挑选上升子序列，所以在判定两个数字相同后就开始找符合单调上升的序列。而 $ma xv$ 记录的就是满足 $a [i] > b [k]$ 的以 $b [k]$ 结尾的最大公共子序列长度。
可以考虑进一步优化，基于 $ma xv$ 的意义，我们将做法变为在上升子序列中挑选公共子序列，即将 $ma xv$ 提出到第一层循环，第二层循环时，遇到两个字母相同的就更新 $f [i] [j]$ 的值，而遇到 $a [i] > a [j]$ 的情况就更新 $ma xv$ 的值。
最后，枚举集合中包含 $A$ 序列所有数字和前 $i$ 个数的状态，找出最大值。

当然，无论是哪种做法，在判定与更新前都需要先将 $f [i - 1] [j]$ 的值迁移至 $f [i] [j]$ 。可以发现优化的过程本质上通过数学方法对代码进行等价变换。

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 3010;

int n;
int a[N], b[N], f[N][N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int maxv = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(maxv, f[i][j]);
            if (a[i] > b[j]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);

    cout << res;
    return 0;
}