17、类型级计算：整数表示与格式化打印

类型级计算：整数表示与格式化打印

1. 类型级计算概述

在编程领域，类型级计算是一种独特且强大的技术。它允许我们通过对值进行模式匹配和递归计算类型，这与主流编程语言如 Python 或 Java 有很大不同。类型级计算不仅改变了我们能编写的程序类型，还在保持静态类型的同时，为程序的编写和验证带来了新的可能性。下面我们将通过几个具体的例子来深入了解类型级计算。

2. 整数的表示

2.1 整数表示的问题

在像 Agda 这样的语言中，如何表示自然数之外的数是一个值得探讨的问题。我们这里主要考虑用于定理证明的数的表示，而高效的数值表示暂不涉及。对于数学整数 Z 的表示，一个自然的想法是将整数视为自然数加上一个符号位，即一个布尔值表示数的正负，这样可以尝试用 N × B 来定义 Z 类型。然而，这种定义会导致 0 有两种表示：正 0 和负 0。在传统数学中，0 是没有符号的，这种有符号的 0 表示会使后续的定理和定义变得复杂。

2.2 改进的整数表示

我们可以利用类型级计算来解决这个问题。我们希望表达只有非零数有符号，而 0 是无符号的概念。具体来说，非零数的符号类型为 B，而 0 的符号类型为 J。类型 J 定义如下：

data J : Set where
  triv : J

这个类型也称为单位类型，它只有一个成员 triv。因此，如果有一个类型为 J 的元素，实际上没有提供任何额外信息。我们将这样定义整数：非零数的符号位是布尔值，而 0 的符号位是类型 J 的元素，即 0 没有符号。