43、迈向高效并行参数化算法与无限网格上的任意模式形成

迈向高效并行参数化算法与无限网格上的任意模式形成

在计算机科学和机器人技术领域，高效算法的设计和机器人的协同工作一直是研究的热点。本文将探讨两个重要的主题：一是如何将顺序内核级联转换为并行算法以提高工作效率；二是在无限网格上，异步遗忘机器人如何形成任意几何模式。

并行内核级联算法

在处理内核级联算法时，我们可以通过并行化第一个内核将顺序内核级联转换为并行算法。假设我们有一个内核级联 $C = (K_1, \ldots, K_t)$，对于某些 $r \leq t$，$K’ 1, \ldots, K’_r$ 是 $K_1, \ldots, K_r$ 的并行实现。即对于 $i \in {1, \ldots, r}$，$K’_i$ 是 $K_i$ 的具有运行时间 $T {K’ i} \in O(\log^{O(1)} n)$ 的工作竞争并行实现。设 $C’ = (K’_1, \ldots, K’_r, K {r + 1}, \ldots, K_t)$，则有以下结论：
1. $K_{C’}$ 与 $K_C$ 是工作竞争的。
2. $T_{K_{C’}}(n, k) = \log^{O(1)} n + s_{K’_r}(k)^{O(1)}$。

以 $p$ - 顶点覆盖问题为例，有一个大小为 $k^2$ 的内核算法 Buss，它可以在线性顺序时间内实现，也可以在对数并行时间和线性工作下实现（因此是最优的）。还有一个基于文献的大小为 $2k$ 的内核算法 LP，需要顺序时间 $O(|E|\sqrt{|V|})$。对于这个内核，目前还没有已知的工作最优（确定性）多项式对数时间实现。根据观察，有一个用于顶点覆盖问题的顺序内核算法，运行时