37、贪婪共识树与最大贪婪共识树问题解析

贪婪共识树与最大贪婪共识树问题解析

1. 研究贡献概述

本文有四个主要贡献：
- 给出了一个 $O(k^2n)$ 时间复杂度的算法来构建贪婪共识树，当 $k = O(\sqrt{n} \log n)$ 时，该算法比现有方法更快。
- 证明了当 $k \geq 3$ 时，最大贪婪共识树问题是 NP 难的。
- 给出了一个多项式时间算法，用于为两棵树 ${T_1, T_2}$ 构建最大贪婪共识树。
- 给出了一个多项式时间近似算法，用于构建三棵树的最大贪婪共识树。

2. 预备知识

2.1 系统发育树与簇的定义

• 系统发育树是一种有根、无序、叶节点带标签的树，每个内部节点至少有两个子节点，且所有叶节点标签不同。为简化表述，后续将系统发育树简称为“树”，树中的每个叶节点由其唯一标签标识。
• 设 $T$ 是一个叶节点标签集合为 $L$ 的树，$V(T)$ 表示 $T$ 中所有节点的集合。对于任意 $u \in V(T)$，以 $u$ 为根的子树记为 $T[u]$，$\Lambda(T[u])$ 表示 $T[u]$ 中所有叶节点的集合，这个集合称为 $T$ 中的一个簇。
• 若 $u$ 既不是叶节点也不是根节点，$\Lambda(T[u])$ 称为非平凡簇；否则为平凡簇。平凡簇要么等于 $L$（当 $u$ 是根节点时），要么是包含 $L$ 中一个分类单元的单元素集（当 $u$ 是叶节点时）。用 $C(T)$ 表示 $T$ 中所有非平凡簇的集合。

2.2 簇与树的兼容性

• 对于任意两个簇 $C_1$ 和