7、移动点的 k - 中心问题与 r - 聚集问题算法解析

移动点的 k - 中心问题与 r - 聚集问题算法解析

在实际应用中，许多场景都涉及到对移动点的处理以及设施的合理分配问题。本文将深入探讨移动点的 k - 中心问题和 r - 聚集问题，并介绍相关的算法。

移动点的 k - 中心问题

在移动点的 k - 中心问题中，我们关注的是如何为一组移动的点找到合适的中心，使得某些成本函数最小化。这里涉及到拓扑稳定性的概念，即解决方案需要连续变化，但速度可以是任意的。

不稳定的欧几里得 k - 中心算法

设 $P$ 是平面上的一组 $n$ 个移动点，每个点的位置由一个固定次数的代数函数表示，该函数将时间映射到平面上。我们用 $P(t)$ 表示时间 $t$ 时的点集，目标是找到一组最优的 $k$ 个最小覆盖圆盘 $B^*(t)$，使得它们能够覆盖 $P(t)$。

为了实现这个目标，我们引入了候选 k - 中心的概念：
- 定义 1 ：任意一组 $k$ 个圆盘 $D_1, \ldots, D_k$，其中每个圆盘是 $P(t)$ 中一个、两个或三个点的最小覆盖圆盘，称为候选 k - 中心，记为 $B(t)$。如果其圆盘的并集覆盖了 $P(t)$ 中的所有点，则该候选 k - 中心是有效的。

算法的目标可以重新表述为：对于每个时间 $t$，计算最小的值 $C(t)$，使得存在一个有效的候选 k - 中心 $B(t)$，其中 $C(t)$ 是最小最大模型中的成本。这些成本随时间的变化可以看作是一个将时间映射到半径的图中的曲线，大约有 $O(n^3)$ 条这样的曲线。

通过对排列的分析、下包络计算和静态 k - 中心算法，我