28、测度集中性及其应用

测度集中性及其应用

1 测度集中性的应用概述

测度集中性的结果有两个重要应用。一是证明一对寄存器的大多数纯态是高度纠缠的；二是证明信道的最小输出熵通常是非可加的，且第二个应用依赖于第一个。

2 大多数纯态是高度纠缠的

2.1 相关设定与引理

设 (X) 和 (Y) 是复欧几里得空间，其维度 (n = dim(X)) 和 (m = dim(Y)) 满足 (n ≤ m)。对于某些单位向量 (u ∈ X ⊗ Y)，有 (Tr_Y(uu^*) = ω)，其中 (ω = 1/n) 表示关于 (X) 的完全混合态。并非每个单位向量 (u ∈ X ⊗ Y) 都满足该方程（除非 (n = 1)），但随着 (n) 增大，该方程在集合 (S(X ⊗ Y)) 中越来越大的部分近似成立。

下面的引理建立了相关事实，考虑状态之间关于 2 - 范数距离的近似。
- 引理 7.45 ：存在正实数 (K_0)，对于维度为 (n = dim(X)) 和 (m = dim(Y)) 的复欧几里得空间 (X) 和 (Y)，随机变量 (X : S(X ⊗ Y) → R)，其关于 (S(X ⊗ Y)) 上的均匀球面测度分布，定义为 (X(u) = |Tr_Y(uu^ ) - ω|_2)（(ω = 1/n)），有 (Pr{X ≥ K_0/\sqrt{m}} < 4^{-n})。
- 证明步骤 ：
1. 证明引理对 (K_0 = \sqrt{12/δ^2 + 1}) 成立，其中 (δ^2) 是满足 Levy 引理（定理 7.37）均值形式要求的任意正实数