14、单通道与优化相关概念解析

单通道与优化相关概念解析

1. 离散魏尔算子

1.1 基本定义

对于任意正整数 (n)，定义集合 (Z_n = {0, \ldots, n - 1})，该集合关于模 (n) 的加法和乘法构成一个环。离散魏尔算子是作用在 (X = C^{Z_n}) 上的一组酉算子，定义如下：
首先定义标量值 (\zeta = \exp(\frac{2\pi i}{n}))，以及酉算子 (U = \sum_{c\in Z_n} E_{c + 1, c}) 和 (V = \sum_{c\in Z_n} \zeta^c E_{c, c})。对于每一对 ((a, b) \in Z_n \times Z_n)，离散魏尔算子 (W_{a, b} \in U(X)) 定义为 (W_{a, b} = U^a V^b)，等价地表示为 (W_{a, b} = \sum_{c\in Z_n} \zeta^{bc} E_{a + c, c})。

1.2 示例

当 (n = 2) 时，离散魏尔算子（矩阵形式）为：
(W_{0, 0} = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix})，(W_{0, 1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix})，(W_{1, 0} = \begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix})，(W_{1, 1} = \begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0\end{pmatrix})。
也可等价表示为 (W_{0, 0} = 1)，(W_