高数 ： 极限存在准则 & 两个重要极限

极限存在准则

准则 $I$

如果数列 { x n } , { x b } \lbrace x_n \rbrace , \{ x_b \} {xn​},{xb​} 及 { z n } \{ z_n \} {zn​} 满足下列条件：

（1）从某项起， 即 $\exists$ $n_0$ $\in$ $N_{+}$ ， 当 $n>n_0$ 时，有
                                            $y_n$ $\le$ $x_n$ $\le$ $z_n$

（2）${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a$， ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$

那么数列 { x n } \lbrace x_n \rbrace {xn​} 的极限存在， 且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$

准则 $I^{’}$

如果
（1）当 $x$ $\in$ $U^0(x_0,r)$    或($|x|$ > $M$) 时，
                                            $g(x)$ $\le$ $f(x)$ $\le$ $h(x)$

（2）$\underset{x\to x_0}{\overset{(x\to \infty )}{\lim }}$ $g(x)=A$， $\underset{x\to x_0}{\overset{(x\to \infty )}{\lim }}$ $h(x)=A$

那么 $\underset{x\to x_0}{\overset{(x\to \infty )}{\lim }}$ $g(x)=A$ 存在， 且等于 $A$

准则 $I$ 与 准则 $I^{’}$ 称为 夹逼准则。

准则 $II$

单调有界数列必有极限

两个重要极限

$\underset{x\to \infty }{\lim }$ $(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

$\underset{x\to 0}{\lim }$ $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

$\underset{x\to \infty }{\lim }$ $(1-\frac{1}{x}{)}^x=\frac{1}{e}$